1. O Teorema de Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas
Quando passamos uma integral dupla para coordenadas polares ou, uma integral tripla, para coordenadas cilíndricas ou esféricas estamos aplicando o teorema de mudança de variáveis.
Este teorema é a extensão do teorema de mudança de variáveis para integrais simples.
2. O Jacobiano
Seja \( T \) a transformação dada por
\[
\begin{array}{ccc}
x & = & g(u, v) \\
y & = & h(u, v). \\
\end{array}
\]
Definimos o Jacobiano de \( T \) como sendo:
\[
\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = \det
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{bmatrix}.
\]
Exemplo 2.1
Seja \( T \) a transformação dada por
\[
\begin{array}{ccc}
x & = & u - v \\
y & = & u + v.
\end{array}
\]
Então:
\[
\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = \det
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{bmatrix}
= \det
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
= 2.
\]
Logo, o Jacobiano de \( T \) é igual a 2.
Do mesmo modo, se \( T \) é transformação dada por
\[
\begin{array}{ccc}
x & = & g(u,v,w) \\
y & = & h(u,v,w) \\
z & = & k(u,v,w), \\
\end{array}
\]
definimos o Jacobiano de \( T \) por:
\[
\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)} = \det
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w}
\end{bmatrix}
\]
Exemplo 2.2: coordenadas cilíndricas
Seja \( T \) a transformação dada por
\[
\begin{array}{ccc}
x & = & r \cos(\theta) \\
y & = & r \sin(\theta) \\
z & = & z.
\end{array}
\]
\[
\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, z)} = \det
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\
\frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z}
\end{bmatrix}
\]
\[
= \det
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -r \sin(\theta) & 0 \\
\sin(\theta) & r \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
= r.
\]
Exemplo 2.3: coordenadas esféricas
Seja \( T \) a transformação dada por
\[
\begin{array}{ccc}
x & = & \rho \sin(\phi) \cos(\theta) \\
y & = & \rho \sin(\phi) \sin(\theta) \\
z & = & \rho \cos(\phi).
\end{array}
\]
\[
\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (\rho, \phi, \theta)} = \det
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\
\frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \theta}
\end{bmatrix}
\]
\[
= \det
\begin{bmatrix}
\sin(\phi) \cos(\theta) & \rho \cos(\phi) \cos(\theta) & -\rho \sin(\phi) \sin(\theta) \\
\sin(\phi) \sin(\theta) & \rho \cos(\phi) \sin(\theta) & \rho \sin(\phi) \cos(\theta) \\
\cos(\phi) & -\rho \sin(\phi) & 0
\end{bmatrix}
= -\rho^2 \sin(\phi).
\]
3. Teorema
Há uma relação muito útil entre os Jacobianos:
- \(\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \text{ e } \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)}\)
- \(\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)} \text{ e } \frac{\partial (u, v, w)}{\partial (x, y, z)}\)
Teorema 3.1
Vale a seguinte relação:
- \(\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \cdot \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} = 1\).
- \(\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)} \cdot \frac{\partial (u, v, w)}{\partial (x, y, z)} = 1\).
Exemplo 3.2
Suponha que temos a seguinte transformação:
\[
\begin{array}{ccc}
u & = & x + y \\
v & = & x^2 - y^2.
\end{array}
\]
Vamos determinar \(\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \text{ e } \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)}\).
Como
\[
\begin{array}{ccc}
u & = & x + y \\
v & = & x^2 - y^2,
\end{array}
\]
temos que
\[
\frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} = \det
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2x & -2y
\end{bmatrix}
= -2y - 2x = -2(x + y) = -2u.
\]
Como
\[
\begin{cases}
x & = \frac{u}{2} + \frac{v}{2u} \\
y & = \frac{u}{2} - \frac{v}{2u},
\end{cases}
\]
temos que
\[
\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = \det
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} - \frac{v}{2u^2} & \frac{1}{2u} \\
\frac{1}{2} + \frac{v}{2u^2} & -\frac{1}{2u}
\end{bmatrix}
= -\frac{1}{2u}.
\]
Note que obtemos que:
\[
\frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} \cdot \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = (-2u) \cdot \left(-\frac{1}{2u}\right) = 1.
\]
4. Teorema de Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas
Teorema: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Se a transformação \( x = x(u, v), y = y(u, v) \) levar a região \( S \) do plano \( uv \) na região \( R \) do plano \( xy \) e se o Jacobiano
\[
\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}
\]
for diferente de zero em \( S \), então vale a igualdade:
\[
\iint_R f(x, y) dA_{x, y} = \iint_S f(x(u, v), y(u, v)) \left| \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \right| dA_{u, v},
\]
onde acrescentamos índices aos \( dA \) para ajudar a identificar as variáveis associadas.
Teorema: Mudança de Variáveis em Integrais Triplas
Se a transformação \( x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) \) levar a região \( S \) do espaço \( uvw \) na região \( R \) do espaço \( xyz \) e se o Jacobiano
\[
\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)}
\]
for diferente de zero em \( S \), então vale a igualdade:
\[
\iiint_R f(x, y, z) dV_{x,y,z} = \iiint_S f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) \left| \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)} \right| dV_{u,v,w},
\]
onde acrescentamos índices aos \( dV \) para ajudar a identificar as variáveis associadas.
5. Exemplo
Calcular a seguinte integral \[ \iint_R \frac{x - y}{x + y} dA ,\] onde \( R \) é a região entre as curvas \( x - y = 0, x - y = 1, x + y = 1 \) e \( x + y = 3 \).
A região \( R \) e o integrando sugerem a seguinte mudança de variáveis \( T \):
\[
\begin{cases}
u = x - y \\
v = x + y.
\end{cases}
\]
T aplica a região \( R^* = [0, 1] \times [1, 3] \) em \( R \):
Logo,
\[
\iint_R \frac{x - y}{x + y} dA = \iint_{R^*} f(x(u, v), y(u, v)) \left| \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \right| dA
\]
\[
= \iint_{R^*} \frac{u}{v} \cdot \frac{1}{2} dA_{uv}
\]
\[
= \int_0^1 \int_1^3 \frac{u}{v} \cdot \frac{1}{2} dv du
\]
\[
= \frac{1}{2} \int_0^1 u du \int_1^3 \frac{1}{v} dv
\]
\[
= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \ln(3) = \frac{1}{4} \ln(3).
\]
6. Exemplo
Calcular a área da região entre as curvas \( x+y = 2 \) e \( x + y = 3 \), \( x^2 - y^2 = 1 \) e \( x^2 - y^2 = 4 \). Em outras palavras, calcular a integral \[ \iint_R 1 dA ,\] onde \( R \) é a região entre as curvas.
A região \( R \) sugere a seguinte mudança de variáveis \( T \):
\[
\begin{cases}
u = x + y \\
v = x^2 - y^2.
\end{cases}
\]
Já calculamos o Jacobiano dessa transformação: \( -\frac{1}{2u} \).
T aplica a região \( R^* = [2, 3] \times [1, 4] \) em \( R \):
Logo,
\[
A(R) = \iint_R 1dA
\]
\[
= \iint_{R^*} f(x(u,v), y(u,v)) \left| \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \right| dA
\]
\[
= \iint_{R^*} \frac{1}{2u} dA_{uv}
\]
\[
= \int_2^3 \int_1^4 \frac{1}{2u} dv du
\]
\[
= \int_2^3 \frac{3}{2u} du
\]
\[
= \frac{3}{2} \ln(u) \Big|_2^3 = \frac{3}{2} \ln \left( \frac{3}{2} \right).
\]