Prof. Doherty Andrade www.metodosnumericos.com.br
Problema: Determinar o volume abaixo do parabolóide \(z= x^2+y^2\), dentro do cilindro \( (x - 1)^2 + y^2 = 1 \) e acima do plano \( xy \).
O paraboloide é mostrado em um domínio amplo para fins didáticos. O volume desejado é a parte dentro do cilindro vermelho.
Círculo de raio 1 centrado em \( (1, 0) \).
Usaremos coordenadas polares. Primeiro, reescrevemos o domínio:
\[ (x - 1)^2 + y^2 \leq 1 \]Fazendo a mudança para coordenadas polares:
\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta \]A equação do cilindro se torna:
\[ (r\cos\theta - 1)^2 + (r\sin\theta)^2 \leq 1 \Rightarrow r^2 - 2r\cos\theta + 1 \leq 1 \Rightarrow r^2 \leq 2r\cos\theta \Rightarrow r \leq 2\cos\theta \quad (\text{para } r > 0) \]O domínio em coordenadas polares é:
\[ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leq r \leq 2\cos\theta \]O volume é dado por:
\[ V = \iint_D (x^2 + y^2)\, dA = \iint_D r^2 \cdot r\, dr\, d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2\cos\theta} r^3 \, dr\, d\theta \]Calculando a integral interna:
\[ \int_0^{2\cos\theta} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{2\cos\theta} = \frac{(2\cos\theta)^4}{4} = \frac{16\cos^4\theta}{4} = 4\cos^4\theta \]Então:
\[ V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 4\cos^4\theta \, d\theta \]Usando a identidade \(\cos^4\theta = \frac{3 + 4\cos(2\theta) + \cos(4\theta)}{8}\):
\[ V = 4 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{3 + 4\cos(2\theta) + \cos(4\theta)}{8} d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(3 + 4\cos(2\theta) + \cos(4\theta)\right) d\theta \]Integrando termo a termo:
\[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 3\, d\theta = 3\pi, \quad \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 4\cos(2\theta)\, d\theta = 0, \quad \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(4\theta)\, d\theta = 0 \]Logo:
\[ V = \frac{1}{2} \cdot 3\pi = \frac{3\pi}{2} \]Resposta final: \( \boxed{V = \dfrac{3\pi}{2}} \)