Seja \( C \) uma curva fechada simples suave por partes que delimita uma região \( R \) no plano. Se \( P(x, y) \) e \( Q(x, y) \) têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em \( R \), então:
Orientação positiva: Anti-horário (a região \( R \) fica à esquerda ao percorrer \( C \)).
Calcule a área da região delimitada pela elipse \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) usando o Teorema de Green.
Verifique o Teorema de Green para \( \mathbf{F} = (-y^3, x^3) \) ao longo do círculo \( x^2 + y^2 = 1 \).
Como vimos, o teorema de Green estabelece uma relação entre uma integral de linha sobre uma curva fechada simples \( C \) e uma integral dupla na região \( D \) delimitada por \( C \).
Orientação positiva significa que a região fica à esquerda ao percorrermos a curva. No exemplo acima, percorremos a curva \( C \) no sentido anti-horário!
Teorema 1 (Teorema de Green):
Seja \( C \) uma curva plana simples, fechada, contínua por partes, orientada positivamente e seja \( D \) a região delimitada por \( C\). Se \( P \) e \( Q \)têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contém \( D \), então
As notações
\[ \oint_C P \, dx + Q \, dy \quad \text{e} \quad \int_C P \, dx + Q \, dy, \]são também usadas para enfatizar que a integral é calculada sobre uma curva fechada \(C \) usando a orientação positiva.
A fronteira da região \( D \) também pode ser denotada por \( \partial D \). Usando essa notação, o teorema de Green é enunciado como:
\[ \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA = \int_{\partial D} P \, dx + Q \, dy. \]Mostraremos que
\[ \int_C P \, dx = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y} dA. \]Vamos supor que a região \( D \) pode ser escrita como
\[ D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}, \]onde \( g_1 \) e \( g_2 \) são funções contínuas.
Por um lado, pelo teorema fundamental do cálculo, temos
\[ \iint_D \frac{\partial P}{\partial y} dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y} dy \, dx = \int_a^b [P(x, g_2(x)) - P(x, g_1(x))] dx. \]Por outro lado, podemos escrever a fronteira \( C \) de \( D \) como a união dos caminhos \( C_1, C_2, C_3 \) e\( C_4 \).
Consequentemente,
\[ \int_C P \, dx = \int_{C_1} P \, dx + \int_{C_2} P \, dx + \int_{C_3} P \, dx + \int_{C_4} P \, dx. \]É claro que podemos repetir o procedimento para \(Q\) no lugar de \(P\).
Finalmente, combinando os resultados, obtemos
\[ \int_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA. \]Na demonstração do teorema de Green, assumimos que a região \( D\) pode ser escrita tanto como
\[ D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\} \]quanto
\[ D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : c \leq y \leq d, \, h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}, \]onde \( g_1, g_2, h_1 \) e \( h_2 \) são funções contínuas. Chamamos tais regiões de regiões simples.
O teorema de Green pode ser estendido para o caso em que \( D \) é a união finita de regiões simples.
Calcule
\[ \int_C x^4 dx + xy \, dy, \]em que \( C \) é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de \( (0, 0) \) a \( (1, 0)\), de \( (1, 0) \) a \( (0, 1) \) e de \( (0, 1) \) a \( (0, 0) \).
Resposta: Pelo teorema de Green,
\[ \int_C x^4 dx + xy \, dy = \int_0^1 \int_0^{1-x} y \, dy \, dx = \frac{1}{6}. \]Calcule
\[ \int_C (3y - e^{\sin x}) dx + \left(7x + \sqrt{y^4 + 1}\right) dy, \]em que \( C \) é o círculo \( x^2 + y^2 = 9 \).
Resposta: Pelo teorema de Green e usando coordenadas polares, encontramos
\[ \int_C (3y - e^{\sin x}) dx + \left(7x + \sqrt{y^4 + 1}\right) dy = \iint_D 4 \, dA = 4 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^3 r \, dr = 36\pi. \]Se \( P \) e \( Q \) são tais que
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1, \]então, pelo teorema de Green, a área de uma região \( D \) é dada por
\[ A = \iint_D 1 \, dA = \int_C P \, dx + Q \, dy. \]Exemplos de funções \( P \) e \( Q \) que satisfazem a condição acima incluem:
Assim, a área de \( D \) pode ser obtida por uma das equações:
\[ A = \int_C x \, dy = -\int_C y \, dx = \frac{1}{2} \int_C x \, dy - y \, dx. \]Determine a área delimitada pela elipse
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \]Resposta: Usando a última fórmula, concluímos que a área da elipse é
\[ A = ab\pi. \]Calcule
\[ \oint_C y^2 dx + 3xy \, dy, \]em que \( C \) é a fronteira da região semi-anular \( D \) contida no semiplano superior entre os círculos \( x^2 + y^2 = 1 \) e \( x^2 + y^2 = 4 \).
Resposta: Usando o teorema de Green e coordenadas polares para calcular a integral dupla, encontramos
\[ \oint_C y^2 dx + 3xy \, dy = \iint_D y \, dA = \frac{14}{3}. \]Se
\[ F(x, y) = \frac{-y \mathbf{i} + x \mathbf{j}}{x^2 + y^2}, \]mostre que
\[ \int_C F \cdot dr = 2\pi \]para todo caminho fechado simples que circunde a origem.
Resposta: Considere uma curva \( C \) e seja \( C^\prime\) o círculo de raio \( a \) centrado na origem. Pelo teorema de Green, temos
\[ \int_C P \, dx + Q \, dy - \int_{C'} P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA = 0. \]Logo, calculando a integral sobre o círculo \( C^\prime\), encontramos
\[ \int_C P \, dx + Q \, dy = \int_{C'} P \, dx + Q \, dy = 2\pi. \]Na demonstração do teorema de Green, assumimos que a região \( D \) pode ser escrita tanto como \[ D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x) \} \] quanto \[ D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : c \leq y \leq d, \, h_1(y) \leq x \leq h_2(y) \}, \] onde \( g_1, g_2, h_1 \) e \( h_2 \) são funções contínuas. Chamamos tais regiões de regiões simples. O teorema de Green pode ser estendido para o caso em que \( D \) é a união finita de regiões simples.
Referência:
MARSDEN, Jerrold E.; TROMBA, Anthony. Vector Calculus. 6th ed. New York: W. H. Freeman, 2011.