Introdução à Quadratura Gaussiana
A quadratura Gaussiana é um método de integração numérica que aproxima a integral de uma função como uma soma ponderada de valores da função em pontos específicos (nós).
Fórmula Geral:
$$ \int_{a}^{b} w(x) f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) $$
Vantagens:
- Exata para polinômios de grau até \( 2n-1 \) usando \( n \) pontos
- Mais precisa que métodos como a regra do trapézio ou Simpson para o mesmo número de pontos
- Particularmente útil para integrais com funções peso especiais
Gauss-Legendre
Indicado para integrais no intervalo \([-1, 1]\) com função peso \( w(x) = 1 \):
$$ \int_{-1}^{1} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) $$
Os nós \( x_i \) são as raízes dos polinômios de Legendre.
Gauss-Tchebycheff
Indicado para integrais no intervalo \([-1, 1]\) com função peso \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \):
$$ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1 - x^2}} dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) $$
Os nós \( x_i \) são as raízes dos polinômios de Tchebycheff.
Gauss-Laguerre
Indicado para integrais no intervalo \([0, \infty)\) com função peso \( w(x) = e^{-x} \):
$$ \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) $$
Os nós \( x_i \) são as raízes dos polinômios de Laguerre.
Gauss-Hermite
Indicado para integrais no intervalo \((-\infty, \infty)\) com função peso \( w(x) = e^{-x^2} \):
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) $$
Os nós \( x_i \) são as raízes dos polinômios de Hermite.