Divisão Proporcional: Teoria e Calculadora

Prof. Doherty Andrade - www.metodosnumericos.com.br

Teoria

A divisão proporcional é um método matemático utilizado para distribuir um valor \( V \) em partes que seguem uma relação de proporção com outros valores de referência. Existem dois tipos principais:

1. Divisão Diretamente Proporcional

As grandezas $P_1,P_2, \ldots ,P_n$ são ditas serem diretamente proporcionais a $ v_1, v_2, \dots, v_n $ quando valem as igualdades: $$\frac{P_1}{v_1}= \frac{P_2}{v_2}= \cdots = \frac{P_n}{v_n}=k$$ para alguma constante real $k$, chamada de constante de proporcionalidade.

De onde segue que $$P_i= k v_i, i=1,2,\ldots, n.$$

Assim, quando dividimos \( V \) em partes diretamente proporcionais a \( v_1, v_2, \dots, v_n \), cada parte \( P_i \) é calculada de forma que:

\[ P_i = k \cdot v_i. \quad (1) \]

A constante \( k \) é a constante de proporcionalidade, também é dada por:

\[ k = \frac{V}{v_1 + v_2 + \dots + v_n} \] pois somando as igualdades (1), obtemos $$ \sum_{i=1}^n P_i= V= k \sum_{i=1}^n v_i. $$ De onde segue o resultado. Voltando em (1), obtemos que cada $P_i$ é dado por $$ P_i = \frac{V}{v_1+v_2+\cdots+v_n}v_i, i=1,2, \ldots, n.$$ Vamos ver um exemplo?

Exemplo:

Dividir 1000 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Se \( V = 1000 \), \( v_1 = 2 \), \( v_2 = 3 \), \( v_3 = 5 \), tem-se:

\[ k = \frac{1000}{2 + 3 + 5} = 100. \] Logo, \[ P_1 = 100 \times 2 = 200, \quad P_2 = 100 \times 3 = 300, \quad P_3 = 100 \times 5 = 500 \]

2. Divisão Inversamente Proporcional

Na divisão inversamente proporcional, as partes são proporcionais ao inverso dos valores de referência:

\[ P_i = \frac{k}{v_i} \]

Onde \( k \) é calculado por:

\[ k = \frac{V}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \dots + \frac{1}{v_n}}. \] Logo, a teoria para divisão em partes inversamente proporcionais segue o caso da divisão em partes diretamente proporcionais.

Exemplo:

Dividir 1000 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Se \( V = 1000 \), \( v_1 = 2 \), \( v_2 = 3 \), \( v_3 = 5 \):

\[ k = \frac{1000}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}} = \frac{1000}{\frac{15}{30} + \frac{10}{30} + \frac{6}{30}} = \frac{1000}{\frac{31}{30}} \approx 967.74 \] \[ P_1 = \frac{967.74}{2} \approx 483.87, \quad P_2 = \frac{967.74}{3} \approx 322.58, \quad P_3 = \frac{967.74}{5} \approx 193.55 \]

Calculadora de Divisão Proporcional