📚 Fundamentos da Otimização de Portfólios
1. Introdução à Teoria Moderna de Portfólio
A Teoria Moderna de Portfólio (MPT), desenvolvida por Harry Markowitz (Prêmio Nobel de Economia em 1990), estabelece que a decisão de investimento deve considerar não apenas o retorno esperado de cada ativo individual, mas também a correlação entre eles.
Princípio Fundamental:
"A diversificação é o único almoço grátis nos mercados financeiros."
Objetivos da Otimização:
- Maximizar o Índice de Sharpe (relação retorno/risco)
- Variáveis de decisão: Pesos \(w_i\) de cada ativo no portfólio
- Restrições: \(\sum w_i = 1\) e \(w_i \geq 0\) (long-only)
1 Cenário do Exemplo
Vamos considerar 3 ativos para investimento (simplificado para fins didáticos):
| Ativo |
Retorno Esperado |
Risco (Volatilidade) |
| A - Ações | 15% ao ano | 25% |
| B - Títulos | 8% ao ano | 5% |
| C - Ouro | 7% ao ano | 15% |
Matriz de Correlação
\[
\rho = \begin{bmatrix}
1,0 & 0,2 & 0,3 \\
0,2 & 1,0 & 0,2 \\
0,3 & 0,2 & 1,0
\end{bmatrix}
\]
Taxa Livre de Risco
Consideramos \(R_f = 3\%\) ao ano.
2 Passo 1: Cálculo da Matriz de Covariância
A covariância entre dois ativos é calculada por:
\[
\text{Cov}(i,j) = \rho_{ij} \times \sigma_i \times \sigma_j
\]
Convertendo porcentagens para decimais:
\[
\sigma_A = 0,25 \quad \sigma_B = 0,05 \quad \sigma_C = 0,15
\]
Calculando cada elemento:
Variâncias (diagonal principal):
\[
\begin{aligned}
\text{Cov}(A,A) &= 1,0 \times 0,25 \times 0,25 = 0,0625 \\
\text{Cov}(B,B) &= 1,0 \times 0,05 \times 0,05 = 0,0025 \\
\text{Cov}(C,C) &= 1,0 \times 0,15 \times 0,15 = 0,0225
\end{aligned}
\]
Covariâncias (fora da diagonal):
\[
\begin{aligned}
\text{Cov}(A,B) &= 0,2 \times 0,25 \times 0,05 = 0,0025 \\
\text{Cov}(A,C) &= 0,3 \times 0,25 \times 0,15 = 0,01125 \\
\text{Cov}(B,C) &= 0,2 \times 0,05 \times 0,15 = 0,0015
\end{aligned}
\]
Matriz de Covariância Completa:
\[
\Sigma = \begin{bmatrix}
0,0625 & 0,0025 & 0,01125 \\
0,0025 & 0,0025 & 0,0015 \\
0,01125 & 0,0015 & 0,0225
\end{bmatrix}
\]
3 Passo 2: Formulação do Problema de Otimização
Queremos encontrar os pesos \(w_A, w_B, w_C\) que maximizam o Índice de Sharpe:
Restrições:
\[
\begin{cases}
w_A + w_B + w_C = 1 \\
w_A, w_B, w_C \geq 0
\end{cases}
\]
4 Passo 3: Transformação para Programação Quadrática
O problema de máximo Sharpe pode ser transformado em um problema de programação quadrática:
Expansão Explícita de \(\frac{1}{2} w^T \Sigma w\) para 3 Ativos:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} w^T \Sigma w = & \quad \frac{1}{2} w_A^2 \sigma_{AA} + \frac{1}{2} w_B^2 \sigma_{BB} + \frac{1}{2} w_C^2 \sigma_{CC} \\
& + w_A w_B \sigma_{AB} + w_A w_C \sigma_{AC} + w_B w_C \sigma_{BC}
\end{aligned}
\]
Substituindo os valores numéricos:
\[
\boxed{
\begin{aligned}
\frac{1}{2} w^T \Sigma w = & \quad 0,03125 w_A^2 + 0,00125 w_B^2 + 0,01125 w_C^2 \\
& + 0,0025 w_A w_B + 0,01125 w_A w_C + 0,0015 w_B w_C
\end{aligned}
}
\]
5 Passo 4: Exploração Manual (Testes de Combinações)
Vamos testar algumas combinações para entender o comportamento do problema.
Teste 1: 100% em Ações
\[
\begin{aligned}
w &= [1, 0, 0] \\
R_p &= 0,15 \\
\sigma_p &= \sqrt{0,0625} = 0,25 \\
S &= \frac{0,15 - 0,03}{0,25} = \frac{0,12}{0,25} = 0,48
\end{aligned}
\]
Teste 2: 100% em Títulos
\[
\begin{aligned}
w &= [0, 1, 0] \\
R_p &= 0,08 \\
\sigma_p &= \sqrt{0,0025} = 0,05 \\
S &= \frac{0,08 - 0,03}{0,05} = \frac{0,05}{0,05} = 1,0
\end{aligned}
\]
Teste 3: 50% Ações + 50% Títulos
\[
\begin{aligned}
w &= [0,5, 0,5, 0] \\
R_p &= 0,5 \times 0,15 + 0,5 \times 0,08 = 0,115 \\
\sigma_p^2 &= 0,25 \times 0,0625 + 0,25 \times 0,0025 + 2 \times 0,5 \times 0,5 \times 0,0025 = 0,0175 \\
\sigma_p &= \sqrt{0,0175} = 0,1323 \\
S &= \frac{0,115 - 0,03}{0,1323} = 0,642
\end{aligned}
\]
Teste 4: 30% Ações + 70% Títulos
\[
\begin{aligned}
w &= [0,3, 0,7, 0] \\
R_p &= 0,3 \times 0,15 + 0,7 \times 0,08 = 0,101 \\
\sigma_p^2 &= 0,09 \times 0,0625 + 0,49 \times 0,0025 + 2 \times 0,3 \times 0,7 \times 0,0025 = 0,0079 \\
\sigma_p &= \sqrt{0,0079} = 0,0889 \\
S &= \frac{0,101 - 0,03}{0,0889} = 0,799
\end{aligned}
\]
Análise dos Testes:
| Teste |
Retorno |
Risco |
Sharpe |
| 100% Ações | 15,00% | 25,00% | 0,480 |
| 100% Títulos | 8,00% | 5,00% | 1,000 |
| 100% Ouro | 7,00% | 15,00% | 0,267 |
| 50% A + 50% B | 11,50% | 13,23% | 0,642 |
| 30% A + 70% B | 10,10% | 8,89% | 0,799 |
Observação: A melhor combinação até agora é 30% Ações + 70% Títulos com Sharpe = 0,799.
No entanto, a solução ótima será ainda melhor!
6 Passo 5: Solução Exata por Programação Quadrática
A solução exata encontrada pelo algoritmo de otimização é:
Pesos Ótimos:
\[
\boxed{
w_A = 15,4\% \quad w_B = 73,1\% \quad w_C = 11,5\%
}
\]
Métricas do Portfólio Ótimo:
Retorno:
\[
\begin{aligned}
R_p &= w_A R_A + w_B R_B + w_C R_C \\
&= 0,154 \times 0,15 + 0,731 \times 0,08 + 0,115 \times 0,07 \\
&= 0,0231 + 0,05848 + 0,00805 \\
&= 0,0896 \quad (8,96\%)
\end{aligned}
\]
Risco:
\[
\begin{aligned}
\sigma_p^2 &= w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + w_C^2 \sigma_C^2 \\
&\quad + 2w_A w_B \text{Cov}(A,B) + 2w_A w_C \text{Cov}(A,C) + 2w_B w_C \text{Cov}(B,C) \\
&= (0,154^2 \times 0,0625) + (0,731^2 \times 0,0025) + (0,115^2 \times 0,0225) \\
&\quad + 2 \times 0,154 \times 0,731 \times 0,0025 \\
&\quad + 2 \times 0,154 \times 0,115 \times 0,01125 \\
&\quad + 2 \times 0,731 \times 0,115 \times 0,0015 \\
&= 0,00148 + 0,00134 + 0,00030 + 0,00056 + 0,00040 + 0,00025 \\
&= 0,00580 \\
\sigma_p &= \sqrt{0,00580} = 0,0762 \quad (7,62\%)
\end{aligned}
\]
Sharpe Ratio:
\[
S = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p} = \frac{0,0896 - 0,03}{0,0762} = \frac{0,0596}{0,0762} = 0,782
\]
7 Interpretação dos Resultados
O portfólio ótimo encontrado tem a seguinte interpretação:
- 73,1% em Títulos: Ativo seguro com bom retorno/risco (Sharpe individual = 1,0). Funciona como "âncora" do portfólio devido à baixa volatilidade e correlação moderada com outros ativos.
- 15,4% em Ações: Contribui para aumentar o retorno esperado, apesar do risco mais alto. A correlação moderada com títulos (0,2) permite algum benefício de diversificação.
- 11,5% em Ouro: Mesmo com Sharpe individual baixo (0,267), sua inclusão se justifica pela baixa correlação com os outros ativos, melhorando a diversificação geral do portfólio.
Conclusão: A programação quadrática encontra o ótimo global exato, superando os testes manuais
e garantindo a melhor relação retorno/risco possível dentro das restrições do problema.