Por que a área no plano inclinado é diferente da área no plano $xy$?
A resposta está na geometria da grade $\mathbb{Z}^3$ quando cortada por um plano inclinado.
1. A célula fundamental da grade
No Teorema de Pick, a área é contada em unidades da célula fundamental da grade — o menor
paralelogramo formado por pontos vizinhos da grade.
No plano $xy$ (clássico)
A grade é $\mathbb{Z}^2$ e a célula fundamental é o quadrado unitário:
$$\alpha = (1, 0, 0)^T, \quad \beta = (0, 1, 0)^T$$
$$\text{Área da célula} = \|\alpha \times \beta\| = 1$$
Por isso a fórmula é $A = I + \frac{B}{2} - 1$.
Num plano inclinado $K: ax + by + cz = 0$
Os pontos de $\mathbb{Z}^3$ que pertencem a $K$ formam uma grade 2D, mas os pontos estão
mais espalhados. A base mínima dessa grade (Lema 1 do artigo) é:
$$\alpha = (-b,\ a,\ 0)^T, \quad \beta = (-c,\ 0,\ a)^T$$
E a célula fundamental tem área diferente de 1:
$$k = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \left| \det\begin{pmatrix} a & -b & -c \\ b & a & 0 \\ c & 0 & a \end{pmatrix} \right| = (a^3 + ab^2)\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$
Essa é a constante $k$ do Teorema.
2. Exemplo: plano $x + y + z = 0$
Com $a = b = c = 1$:
| Grandeza |
Valor |
| $\alpha$ |
$(-1, 1, 0)^T$ |
| $\beta$ |
$(-1, 0, 1)^T$ |
| $\|\alpha\|$ |
$\sqrt{2} \approx 1.41$ |
| $\|\beta\|$ |
$\sqrt{2} \approx 1.41$ |
| $k = (1+1)\sqrt{3}$ |
$2\sqrt{3} \approx 3.46$ |
Cada célula da grade no plano inclinado tem área $2\sqrt{3} \approx 3.46$ — mais de 3 vezes
maior que no plano $xy$.
Por quê?
Para um ponto $(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3$ satisfazer $x + y + z = 0$, ele precisa saltar mais
longe entre pontos vizinhos da grade. Não se pode ir de $(0,0,0)$ para $(1,0,0)$ e continuar
no plano — precisa ir para $(-1, 1, 0)$ ou $(-1, 0, 1)$.
3. A fórmula faz sentido
- $I(P) + \frac{B(P)}{2} - 1$ conta quantas células fundamentais cabem no polígono
- Essa contagem é adimensional — funciona igual em qualquer grade
- Para obter a área real em $\mathbb{R}^3$, multiplica-se pela área de uma célula:
$$\boxed{A(P) = \underbrace{k}_{\text{área da célula}} \cdot \underbrace{\left(I + \frac{B}{2} - 1\right)}_{\text{nº de células}}}$$
4. Três interpretações
Interpretação algébrica
A base $\{\alpha, \beta\}$ do plano inclinado tem vetores mais longos e não-ortogonais,
então o determinante $\|\alpha \times \beta\| = k > 1$.
Interpretação geométrica
O plano inclinado corta a grade $\mathbb{Z}^3$ de forma mais esparsa. Menos pontos por
unidade de área implica que cada ponto representa uma área maior.
Interpretação probabilística
A probabilidade de um ponto aleatório de $\mathbb{Z}^3$ cair no plano $K$ é inversamente
proporcional a $\|\mathbf{n}\| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ — quanto mais inclinado, mais raro é
acertar o plano, maior é a célula.
5. Quando as áreas coincidem?
No Corolário do artigo: se $\mathbf{n} = (1, 0, 0)^T$, temos $a=1, b=0, c=0$ e:
$$k = (1^3 + 1\cdot 0^2)\sqrt{1+0+0} = 1$$
Isso corresponde ao plano $x = 0$ (plano $yz$), que é um plano coordenado. Nele, a grade é
literalmente $\mathbb{Z}^2$ e recuperamos o Teorema de Pick clássico.
Resumo
A diferença vem do fato de que a grade $\mathbb{Z}^3$, quando cortada por um plano inclinado,
produz uma grade 2D cujas células unitárias têm área $k > 1$ em vez de 1.
O Teorema de Lin Si (2021) mostra que a fórmula de Pick ainda vale — basta multiplicar pelo
fator de escala $k$ que transforma células da grade em unidades de área real em $\mathbb{R}^3$.