Problemas de Otimização com 1 variável

Prof. Doherty Andrade

Baseado no livro de Cálculo Diferencial e Integral de Granville

Otimização de Funções de Uma Variável

Problemas de otimização envolvem encontrar valores máximos ou mínimos de funções. No cálculo diferencial, utilizamos derivadas para identificar esses pontos extremos.

Ponto Crítico

Um ponto \(c\) no domínio de uma função \(f(x)\) é chamado de ponto crítico se:

\(f'(c) = 0\) ou \(f'(c)\) não existe

Os pontos críticos são candidatos a pontos de máximo ou mínimo locais ou pontos de inflexão.

Teste da Primeira Derivada

Seja \(f(x)\) uma função contínua e \(c\) um ponto crítico:

  • Se \(f'(x)\) muda de positiva para negativa em \(c\), então \(f(c)\) é um máximo local
  • Se \(f'(x)\) muda de negativa para positiva em \(c\), então \(f(c)\) é um mínimo local
  • Se \(f'(x)\) não muda de sinal em \(c\), então \(c\) é um ponto de inflexão

Teste da Segunda Derivada

Seja \(f(x)\) uma função com segunda derivada contínua e \(c\) um ponto crítico com \(f'(c) = 0\):

  • Se \(f''(c) > 0\), então \(f(c)\) é um mínimo local
  • Se \(f''(c) < 0\), então \(f(c)\) é um máximo local
  • Se \(f''(c) = 0\), o teste é inconclusivo

Procedimento para Resolver Problemas de Otimização

  1. Compreender o problema e identificar a função a ser otimizada
  2. Escrever a função em termos de uma única variável
  3. Encontrar os pontos críticos igualando a derivada a zero
  4. Usar o teste da primeira ou segunda derivada para classificar os pontos críticos
  5. Interpretar os resultados no contexto do problema

Exemplo Prático

Encontre o retângulo de área máxima com perímetro fixo igual a 20.

Solução:

Seja \(x\) o comprimento e \(y\) a largura. Temos:

\(2x + 2y = 20 \Rightarrow x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x\)

A área é \(A = x \cdot y = x(10 - x) = 10x - x^2\)

Derivando: \(A' = 10 - 2x\)

Igualando a zero: \(10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5\)

Teste da segunda derivada: \(A'' = -2 < 0\), então é máximo

Portanto, \(x = 5\), \(y = 5\) - um quadrado de lado 5.

Viga de Resistência Máxima

Enunciado do Problema

Admitindo-se que a resistência de uma viga de seção transversal retangular varia na razão direta da largura e do quadrado da profundidade, que dimensões deve ter uma viga a ser serrada de um tronco de árvore de diâmetro \(d\), para que seja a mais resistente possível?

Viga retangular em tronco circular

Figura 1: Viga retangular serrada de um tronco circular

Solução

Se \(x\) = largura e \(y\) = profundidade, então a viga terá máxima resistência quando a função \(xy^2\) for um máximo.

Da figura, \(y^2 = d^2 - x^2\); logo, devemos examinar a função:

\(f(x) = x(d^2 - x^2)\)

Primeiro passo: \(f'(x) = d^2 - 3x^2\)

Segundo passo: \(d^2 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{d}{\sqrt{3}}\)

Portanto:

Profundidade = \(\sqrt{\frac{2}{3}}d\), Largura = \(\sqrt{\frac{1}{3}}d\)

Resolução Detalhada

Seja \(x\) a largura e \(y\) a profundidade da viga retangular.

A resistência é proporcional a \(R = k \cdot x \cdot y^2\), onde \(k\) é uma constante.

Do triângulo retângulo formado pela diagonal do retângulo (que é o diâmetro do tronco):

\(x^2 + y^2 = d^2 \Rightarrow y^2 = d^2 - x^2\)

Substituindo na expressão da resistência:

\(R(x) = k \cdot x \cdot (d^2 - x^2) = k(d^2x - x^3)\)

Derivando em relação a \(x\):

\(R'(x) = k(d^2 - 3x^2)\)

Igualando a zero para encontrar pontos críticos:

\(d^2 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{d^2}{3} \Rightarrow x = \frac{d}{\sqrt{3}}\)

Calculando a profundidade correspondente:

\(y^2 = d^2 - x^2 = d^2 - \frac{d^2}{3} = \frac{2d^2}{3} \Rightarrow y = d\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Teste da segunda derivada:

\(R''(x) = -6kx\)

Para \(x = \frac{d}{\sqrt{3}} > 0\), temos \(R''(x) < 0\), confirmando que é um máximo.

A viga de máxima resistência tem:
Largura = \(\frac{d}{\sqrt{3}}\), Profundidade = \(d\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Calculadora

Insira o diâmetro do tronco:

Retângulo de Área Máxima Inscrito em Segmento Parabólico

Enunciado do Problema

Determinar a largura do retângulo de máxima área que pode ser inscrito num dado segmento \(OAA'\) de uma parábola.

Retângulo inscrito em parábola

Figura 2: Retângulo inscrito em segmento parabólico OAA'

Solução

Se \(OC = h, BC = h - x\) e \(PP' = 2y\), então a área do retângulo é \(2(h - x)y\).

Como \(P\) está sobre a parábola \(y^2 = 2px\), a função a ser examinada é:

\(f(x) = 2(h - x)\sqrt{2px}\)

Largura = \(\frac{2}{3}h\)

Resolução Detalhada

Considere uma parábola \(y^2 = 2px\) (com \(p > 0\)) e um segmento OAA' onde O é o vértice e A e A' são pontos simétricos no eixo x.

Seja \(OC = h\), então as coordenadas do ponto A são \((h, \sqrt{2ph})\).

Para um retângulo inscrito no segmento OAA', o vértice superior direito tem coordenadas \((x, \sqrt{2px})\) com \(0 \leq x \leq h\).

A largura do retângulo é \(2(h - x)\) e a altura é \(\sqrt{2px}\).

A área do retângulo é:

\(A(x) = 2(h - x)\sqrt{2px}\)

Derivando em relação a \(x\):

\(A'(x) = 2\left[-\sqrt{2px} + (h - x)\frac{p}{\sqrt{2px}}\right]\)

Igualando a zero para encontrar pontos críticos:

\(-\sqrt{2px} + (h - x)\frac{p}{\sqrt{2px}} = 0\)

Multiplicando ambos os lados por \(\sqrt{2px}\):

\(-2px + p(h - x) = 0\)

Simplificando:

\(-2x + h - x = 0 \Rightarrow h - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{h}{3}\)

A largura do retângulo é:

\(L = 2(h - x) = 2\left(h - \frac{h}{3}\right) = \frac{4h}{3}\)
A largura do retângulo de área máxima é \(L = \frac{4}{3}h\)

Calculadora

Insira os parâmetros da parábola:


Cone de Volume Máximo Inscrito em uma Esfera

Enunciado do Problema

Determinar a altura do cone de máximo volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio \(r\).

Cone inscrito em esfera

Figura 3: Cone inscrito em uma esfera de raio r

Solução

Volume do cone = \(\frac{1}{3}\pi x^2y\)

Mas \(x^2 = BC \times CD = y(2r - y)\)

Função a ser examinada: \(f(y) = \frac{\pi}{3}y^2(2r - y)\)

Altura do cone = \(\frac{4}{3}r\)

Resolução Detalhada

Seja uma esfera de raio \(r\). Queremos encontrar a altura \(h\) do cone de volume máximo que pode ser inscrito nesta esfera.

Considere uma seção transversal através do eixo do cone e do centro da esfera:

  • Raio da base do cone: \(R\)
  • Altura do cone: \(h\)
  • Raio da esfera: \(r\)

Pelo teorema de Pitágoras:

\(r^2 = (h - r)^2 + R^2\)

Resolvendo para \(R^2\):

\(R^2 = r^2 - (h - r)^2 = r^2 - (h^2 - 2hr + r^2) = 2hr - h^2\)

O volume do cone é:

\(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (2hr - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (2r h^2 - h^3)\)

Derivando em relação a \(h\):

\(\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (4r h - 3h^2)\)

Igualando a zero para encontrar pontos críticos:

\(4r h - 3h^2 = 0 \Rightarrow h(4r - 3h) = 0\)

Soluções: \(h = 0\) (mínimo) e \(h = \frac{4r}{3}\) (máximo)

Teste da segunda derivada:

\(\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{1}{3} \pi (4r - 6h)\)

Para \(h = \frac{4r}{3}\): \(\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{1}{3} \pi (4r - 8r) = -\frac{4}{3} \pi r < 0\)

A altura do cone de volume máximo é \(h = \frac{4r}{3}\)

Explicação da Relação Geométrica: \(x^2 = BC \times CD = y(2r - y)\)

Esta relação é fundamental para resolver o problema. Vamos entender passo a passo:

Teorema da Corda Secante (Potência de Ponto)

Quando duas cordas de um círculo se intersectam em um ponto, o produto dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra corda.

Se AB e CD são cordas que se intersectam em P, então:
\(PA \times PB = PC \times PD\)

Passo 1: Identificar as cordas

Na nossa figura, temos duas cordas que se intersectam no ponto C:

  • Corda BD (diâmetro vertical)
  • Corda AA' (base do cone)

Passo 2: Medir os segmentos

Para a corda BD (diâmetro vertical):

  • \(BC = y\) (altura do cone)
  • \(CD = 2r - y\) (restante do diâmetro)

Para a corda AA' (base do cone):

  • \(AC = x\) (raio da base do cone)
  • \(CA' = x\) (simetria)

Passo 3: Aplicar o teorema

Pelo teorema da corda secante:

\(BC \times CD = AC \times CA'\)
\(y \times (2r - y) = x \times x\)
\(y(2r - y) = x^2\)

Calculadora

Insira o raio da esfera para calcular a altura do cone de volume máximo: