Regra dos Trapézios

Integração Numérica pela Regra dos Trapézios

Dados da Integração:
Intervalo Inicial (a):
Intervalo Final (b):
Quantidade de subintervalos (n):
Função f(x):

Fundamentação Matemática da Regra dos Trapézios

Na Regra dos Trapézios, o intervalo \([a,b]\) é dividido em \(n\) subintervalos de comprimento:

\[ h = \frac{b-a}{n} \]

Definimos os pontos \(x_0 = a\), \(x_i = x_0 + ih\), para \(i = 0,1,\ldots,n\), com \(x_n = b\). A área sob a curva é aproximada pela soma das áreas de \(n\) trapézios.

A integral pode ser aproximada por:

\[ \begin{aligned} \int_a^b f(x)dx &\approx \frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)] + \frac{h}{2}[f(x_1)+f(x_2)] + \cdots + \frac{h}{2}[f(x_{n-1})+f(x_n)] \\ &= \frac{h}{2}\left[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\right] \end{aligned} \]

Que pode ser simplificada para a fórmula clássica:

            \[
            \boxed{\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\right]}
            \]
          

Estimativa de Erro

O erro total na Regra dos Trapézios é dado por:

\[ \boxed{|E_{Trap}| \leq \frac{(b-a)h^2}{12} \max\{|f''(x)| : x \in [a,b]\}} \]

Nota Importante: Se \(f(x)\) é um polinômio de grau \(\leq 1\) (uma reta), então a derivada segunda \(f''(x)\) é nula. Consequentemente, o erro \(|E_{Trap}|\) é zero, ou seja, a regra dos trapézios é exata para funções lineares.

Exemplos Práticos Pré-definidos

Clique em qualquer exemplo abaixo para carregá-lo automaticamente na calculadora e visualizar o resultado.

1. Integral de \( \sin(x) \)

a = 0 b = π n = 10

Função: \( f(x) = \sin(x) \)

Clique para calcular e ver os trapézios aproximando a curva do seno.

2. Integral de \( e^{-x^2} \)

a = 0 b = 1 n = 10

Função: \( f(x) = e^{-(x^2)} \)

Observe como os trapézios ficam abaixo da curva (pois a função é côncava para baixo neste intervalo), subestimando levemente a área.

3. Função Linear (Exatidão)

a = 0 b = 5 n = 3

Função: \( f(x) = 2x + 1 \)

Valor exato = 30. Observe que, mesmo com apenas 3 subintervalos, o resultado será exatamente 30, pois a regra dos trapézios é exata para retas.

4. Integral de \( 1/x \)

a = 1 b = 2 n = 8

Função: \( f(x) = 1/x \)

O resultado deve se aproximar de \( \ln(2) \approx 0.69314718 \).