Regra de Simpson

Integração Numérica pela Regra de Simpson

Dados da Integração:
Intervalo Inicial (a):
Intervalo Final (b):
Quantidade de subintervalos (n - par):
Função f(x):

Fundamentação Matemática da Regra de Simpson

No caso da Regra de Simpson, dado o intervalo \([a,b]\) dividindo-o em \(n\) (par, pois a aproximação por parábolas necessita de 3 pontos e iniciamos a contagem em 0) subintervalos de comprimento:

\[ h = \frac{b-a}{n} \]

Definimos os pontos \(x_0 = a\), \(x_i = x_0 + ih\), para \(i = 0,1,\ldots,n\), com \(x_n = b\).

A integral pode ser aproximada pela soma das áreas sob parábolas que passam por ternos consecutivos de pontos:

\[ \begin{aligned} \int_a^b f(x)dx &= \int_{x_0}^{x_2}f(x)dx + \int_{x_2}^{x_4}f(x)dx + \cdots + \int_{x_{n-2}}^{x_n}f(x)dx \\ &\approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\right] + \frac{h}{3}\left[f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\right] + \cdots \\ &\quad + \frac{h}{3}\left[f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right] \end{aligned} \]

Que pode ser simplificada para a fórmula clássica:

            \[
            \boxed{\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{(n-2)/2} f(x_{2i}) + f(x_n)\right]}
            \]
          

Estimativa de Erro

O erro total na Regra de Simpson é dado por:

\[ \boxed{|E_{Simp}| \leq \frac{(b-a)h^4}{180} \max\{|f^{(4)}(x)| : x \in [a,b]\}} \]

Nota Importante: Se \(f(x)\) é um polinômio de grau \(\leq 3\), então a derivada quarta \(f^{(4)}(x)\) é nula. Consequentemente, o erro \(|E_{Simp}|\) é zero, ou seja, a regra de Simpson é exata para polinômios de grau até 3.

Exemplos Práticos Pré-definidos

Clique em qualquer exemplo abaixo para carregá-lo automaticamente na calculadora e visualizar o resultado.

1. Integral de \( \sin(x) \)

a = 0 b = π n = 10

Função: \( f(x) = \sin(x) \)

Clique para calcular e ver as parábolas aproximando a curva do seno.

2. Integral de \( e^{-x^2} \) (Exemplo de Erro)

a = 0 b = 1 n = 6

Função: \( f(x) = e^{-(x^2)} \)

Este é o exemplo clássico usado para estimar o erro. Com n=6, o erro já é menor que \(10^{-4}\).

3. Polinômio de Grau 3 (Exatidão)

a = -1 b = 2 n = 4

Função: \( f(x) = x^3 - 2x + 1 \)

Observe que, mesmo com poucos intervalos, o resultado será exatamente igual ao valor analítico.

4. Integral de \( 1/x \)

a = 1 b = 2 n = 8

Função: \( f(x) = 1/x \)

O resultado deve se aproximar de \( \ln(2) \approx 0.69314718 \).