⚡ Método de Newton-Raphson com Aplicações

Sistemas não lineares com 2 equações e 2 variáveis

📐 Fundamentação Teórica & Aplicação Prática

O método de Newton-Raphson para sistemas não lineares baseia-se na linearização local das funções via expansão de Taylor de primeira ordem. Em cada iteração, substituímos as curvas não lineares por seus planos tangentes e calculamos onde esses planos se interceptam.

Dado o sistema:

$$\begin{cases} f(x, y) = 0 \\[6pt] g(x, y) = 0 \end{cases}$$

A iteração matricial é dada por:

$$\begin{bmatrix} x_{k+1} \\ y_{k+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \end{bmatrix} - \mathbf{J}^{-1}(x_k, y_k) \begin{bmatrix} f(x_k, y_k) \\ g(x_k, y_k) \end{bmatrix}$$

onde a Matriz Jacobiana $\mathbf{J}$ contém as derivadas parciais:

$$\mathbf{J}(x, y) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} \\[10pt] \dfrac{\partial g}{\partial x} & \dfrac{\partial g}{\partial y} \end{bmatrix}$$
⚙️ Como funciona na prática (Algoritmo Computacional):
  1. Chute inicial: Escolha $(x_0, y_0)$ com base no conhecimento físico ou gráfico do problema.
  2. Avaliação do resíduo: Calcule $\mathbf{F}_k = \big[f(x_k,y_k),\; g(x_k,y_k)\big]^T$.
  3. Montagem da Jacobiana: Calcule $\mathbf{J}_k$ analiticamente ou numericamente.
    Diferenças finitas centradas: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \approx \frac{f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}$ com $h=10^{-7}$.
  4. Correção (passo crucial): Não inverta $\mathbf{J}_k$ explicitamente. Resolva o sistema linear $\mathbf{J}_k \cdot \Delta\mathbf{x} = \mathbf{F}_k$ para obter o vetor correção $\Delta\mathbf{x}$ (via eliminação gaussiana ou LU).
  5. Atualização: $\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k - \Delta\mathbf{x}$.
  6. Critério de parada: Se $\|\Delta\mathbf{x}\| < \varepsilon$ ou $\max(|f|,|g|) < \varepsilon$, convergiu. Caso contrário, retorne ao passo 2.

💡 Notas práticas de implementação:

  • A convergência é quadrática quando o chute inicial está próximo da solução e $\det(\mathbf{J}) \neq 0$.
  • Se a Jacobiana for singular ou quase singular, o método falha ou diverge. Isso geralmente indica geometria inadequada ou equações dependentes.
  • Na prática, impõe-se um número máximo de iterações para evitar loops infinitos e monitora-se a norma $\|\Delta\mathbf{x}\|$ para detectar estagnação.

🔧 Configuração do Sistema

Use ** para potência. Funções: sin, cos, exp, sqrt, log...

📊 Visualização Gráfica

O gráfico plota as curvas $f(x,y)=0$ (azul) e $g(x,y)=0$ (vermelho). A interseção é a solução. O caminho preto mostra as iterações do método.

📋 Exemplos para Testar

🧮 Exemplos Matemáticos
📚 Problemas Contextualizados

🧪 Eng. Química — Equilíbrio V-L

Mistura Benzeno-Tolueno a 1 atm. Fração no vapor $y_1=0.6$. Busca-se fração líquida $x$ e temperatura $T$.

$$\begin{cases} 0.6 - x \cdot e^{10 - 3000/T} = 0 \\ 0.4 - (1-x) \cdot e^{10.5 - 3200/T} = 0 \end{cases}$$

⚙️ Eng. Mecânica — Molas Não Lineares

Blocos com molas cúbicas ($F=kx+\alpha x^3$). Forças $F_1=10$N, $F_2=15$N. Determinar deslocamentos $x$, $y$.

$$\begin{cases} 2x + x^3 + 3(x-y) + (x-y)^3 - 10 = 0 \\ 3(y-x) + (y-x)^3 + 4y + 2y^3 - 15 = 0 \end{cases}$$

📈 Economia — Equilíbrio de Mercado

Produtos complementares com oferta/demanda não lineares. Encontrar preços de equilíbrio $p_1$, $p_2$.

$$\begin{cases} 3p_1^2 + 2p_2 - 40 = 0 \\ 2p_1 + 3p_2^2 - 35 = 0 \end{cases}$$

📚 Referências Bibliográficas

  1. BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis. 10th ed. Boston: Cengage Learning, 2015.
  2. CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Numerical Methods for Engineers. 7th ed. New York: McGraw-Hill, 2015.
  3. PRESS, W. H. et al. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2007.
  4. QUARTERONI, A.; SACCO, R.; SALERI, F. Numerical Mathematics. 2nd ed. New York: Springer, 2007.
  5. KELLEY, C. T. Solving Nonlinear Equations with Newton's Method. Philadelphia: SIAM, 2003.