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📚 Teoria do Método dos Mínimos Quadrados
🔹 Caso Linear: \( y = ax + b \)
O método dos mínimos quadrados linear determina a reta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos. Dado um conjunto de \( n \) pontos \((x_i, y_i)\), queremos encontrar \( a \) e \( b \) que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos:
\[ S(a, b) = \sum_{i=1}^{n} \big[y_i - (a x_i + b)\big]^2 \]Condição de Mínimo
Como \( S \) é uma função quadrática positiva, seu ponto crítico é um mínimo absoluto. Devemos resolver \( \nabla S = \vec{0} \):
\[ \begin{cases} \dfrac{\partial S}{\partial a} = -2 \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i\big(y_i - a x_i - b\big) = 0 \\[10pt] \dfrac{\partial S}{\partial b} = -2 \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \big(y_i - a x_i - b\big) = 0 \end{cases} \]Sistema Normal (Equações Normais)
Reorganizando, obtemos o sistema linear \(2 \times 2\):
\[ \begin{cases} a \displaystyle\sum x_i^2 + b \displaystyle\sum x_i = \displaystyle\sum x_i y_i \\[6pt] a \displaystyle\sum x_i + b\, n = \displaystyle\sum y_i \end{cases} \]Forma Matricial
\[ \underbrace{\begin{bmatrix} \sum x^2 & \sum x \\ \sum x & n \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}}_{\vec{\theta}} = \underbrace{\begin{bmatrix} \sum xy \\ \sum y \end{bmatrix}}_{\vec{v}} \]Solução pela Regra de Cramer
O determinante principal é:
\[ D = \begin{vmatrix} \sum x^2 & \sum x \\ \sum x & n \end{vmatrix} = n \sum x^2 - \big(\sum x\big)^2 \]Os coeficientes são dados por:
\[ a = \frac{D_a}{D} = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{n \sum x^2 - \big(\sum x\big)^2} \] \[ b = \frac{D_b}{D} = \frac{\sum y \sum x^2 - \sum x \sum xy}{n \sum x^2 - \big(\sum x\big)^2} \]🔸 Caso Quadrático: \( y = ax^2 + bx + c \)
Quando os dados exibem curvatura, ajustamos uma parábola. Queremos minimizar:
\[ S(a, b, c) = \sum_{i=1}^{n} \big[y_i - (a x_i^2 + b x_i + c)\big]^2 \]Equações Normais (Sistema \(3 \times 3\))
As derivadas parciais \(\dfrac{\partial S}{\partial a} = \dfrac{\partial S}{\partial b} = \dfrac{\partial S}{\partial c} = 0\) fornecem:
\[ \begin{cases} a \displaystyle\sum x_i^4 + b \displaystyle\sum x_i^3 + c \displaystyle\sum x_i^2 = \displaystyle\sum x_i^2 y_i \\[8pt] a \displaystyle\sum x_i^3 + b \displaystyle\sum x_i^2 + c \displaystyle\sum x_i = \displaystyle\sum x_i y_i \\[8pt] a \displaystyle\sum x_i^2 + b \displaystyle\sum x_i + c\, n = \displaystyle\sum y_i \end{cases} \]Forma Matricial
\[ \begin{bmatrix} \sum x^4 & \sum x^3 & \sum x^2 \\ \sum x^3 & \sum x^2 & \sum x \\ \sum x^2 & \sum x & n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum x^2 y \\ \sum x y \\ \sum y \end{bmatrix} \]Regra de Cramer para \(3 \times 3\)
O determinante da matriz dos coeficientes é:
\[ D = \begin{vmatrix} \sum x^4 & \sum x^3 & \sum x^2 \\ \sum x^3 & \sum x^2 & \sum x \\ \sum x^2 & \sum x & n \end{vmatrix} \]Os determinantes auxiliares são obtidos substituindo cada coluna pelo vetor de termos independentes:
\[ D_a = \begin{vmatrix} \sum x^2 y & \sum x^3 & \sum x^2 \\ \sum xy & \sum x^2 & \sum x \\ \sum y & \sum x & n \end{vmatrix}, \quad D_b = \begin{vmatrix} \sum x^4 & \sum x^2 y & \sum x^2 \\ \sum x^3 & \sum xy & \sum x \\ \sum x^2 & \sum y & n \end{vmatrix}, \quad D_c = \begin{vmatrix} \sum x^4 & \sum x^3 & \sum x^2 y \\ \sum x^3 & \sum x^2 & \sum xy \\ \sum x^2 & \sum x & \sum y \end{vmatrix} \]Os coeficientes são então:
\[ a = \frac{D_a}{D}, \qquad b = \frac{D_b}{D}, \qquad c = \frac{D_c}{D} \]Geometricamente, a parábola ajustada passa o mais próximo possível de todos os pontos no sentido de minimizar a soma dos quadrados das distâncias verticais.