Multiplicação de Matrizes: Animação e Teoria

Esta ferramenta ilustra o processo de multiplicação de matrizes. Insira os valores das matrizes e clique em "Calcular" para ver a animação.

Linhas de A

Colunas de A

Linhas de B

Colunas de B

Linha ativa da Matriz A

Coluna ativa da Matriz B

Elemento sendo multiplicado

Elemento resultado sendo calculado

Matriz A

Matriz B

Matriz Resultado

Explicação do Processo

Passo 1: Verificar a compatibilidade

Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz.

Se \(A\) é uma matriz \(m \times n\) e \(B\) é uma matriz \(n \times p\), então o produto \(AB\) é uma matriz \(m \times p\).

Sejam \( A = [a_{ij}]_{m \times n} \) e \( B = [b_{ij}]_{n \times p} \), definimos \( AB = [c_{ij}]_{m \times p} \), onde

\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}, \] em que \( i = 1,2,\dots, m \) e \( j = 1,2,\dots, p \).

Ilustração da multiplicação de matrizes — Figura 1: Como multiplicar matrizes.

Em outras palavras, o elemento \( c_{ij} \) da matriz produto é o resultado da soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha \( i \) da matriz \( A \) e da coluna \( j \) da matriz \( B \).

Note que para cada coluna da matriz \( A \), existe uma linha na matriz \( B \): o número de colunas de \( A \) é igual ao número de linhas de \( B \).

Veja a ilustração, Figura 1, indicando a formação da matriz produto.

É importante ter a habilidade de multiplicar matrizes, pois vamos sempre precisar multiplicar matrizes. Além disso, note que \(AB \neq BA\).

Só podemos efetuar o produto \( A_{m \times n} B_{r \times p} \) se \( n = r \). Se esse for o caso, então o produto \( AB \) é uma matriz \( C_{m \times p} \).