Exemplo 1: Área da Limaçon r = 3 + 2cos(θ)
\[ A = \int_{0}^{\pi} (3 + 2 \cos \theta)^2 d\theta = \int_{0}^{\pi} (9 + 12 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta) d\theta \]
\[ = \int_{0}^{\pi} (11 + 12 \cos \theta + 2 \cos 2\theta) d\theta = \left[ 11 \theta + 12 \sin \theta + \sin 2\theta \right]_{0}^{\pi} = 11 \pi \]
Área total: \( 11\pi \approx 34.5575 \)
Exemplo 2: Encontre a área limitada por cada laço da limaçon com equação \(r = 1 + 2 \cos \theta\).
A equação \(1 + 2 \cos \theta = 0\) tem duas soluções para \(\theta\) no intervalo \([0, 2\pi]\): \(\theta = 2\pi/3\) e \(\theta = 4\pi/3\). A metade superior do laço externo da limaçon corresponde a valores de \(\theta\) entre \(0\) e \(2\pi/3\), onde \(r\) é positivo. Como a curva é simétrica em torno do eixo \(x\), podemos encontrar a área total \(A_1\) limitada pelo laço externo integrando de \(0\) a \(2\pi/3\) e depois dobrando. Assim,
\[
A_1 = 2 \int_{0}^{2\pi/3} \frac{1}{2} \left(1 + 2 \cos\theta\right)^2 d\theta = \int_{0}^{2\pi/3} \left(1 + 4 \cos\theta + 4 \cos^2\theta\right) d\theta
\]
\[
= \int_{0}^{2\pi/3} \left(3 + 4 \cos\theta + 2 \cos 2\theta\right) d\theta
\]
\[
= \left[ 3\theta + 4 \sin\theta + \sin 2\theta \right]_{0}^{2\pi/3} = 2\pi + \frac{3}{2}\sqrt{3}.
\]
O laço interno da limaçon corresponde a valores de \(\theta\) entre \(2\pi/3\) e \(4\pi/3\), onde \(r\) é negativo. Portanto, a área limitada pelo laço interno é
\[
A_2 = \int_{2\pi/3}^{4\pi/3} \frac{1}{2} \left(1 + 2 \cos\theta\right)^2 d\theta
\]
\[
= \frac{1}{2} \left[ 3\theta + 4 \sin\theta + \sin 2\theta \right]_{2\pi/3}^{4\pi/3} = \pi - \frac{3}{2}\sqrt{3}.
\]
A área da região que está entre os dois laços da limaçon é então
\[
A = A_1 - A_2 = 2\pi + \frac{3}{2}\sqrt{3} - \left(\pi - \frac{3}{2}\sqrt{3}\right) = \pi + 3\sqrt{3}.
\]
Mais resumidamente: Laço externo (r ≥ 0):
\[ A_1 = \int_{0}^{2\pi/3} (1 + 2 \cos\theta)^2 d\theta = \left[ 3\theta + 4 \sin\theta + \sin 2\theta \right]_{0}^{2\pi/3} = 2\pi + \frac{3}{2}\sqrt{3} \]
Laço interno (r < 0):
\[ A_2 = \int_{2\pi/3}^{4\pi/3} \frac{1}{2} (1 + 2 \cos\theta)^2 d\theta = \pi - \frac{3}{2}\sqrt{3} \]
Área entre os laços:
\[ A = A_1 - A_2 = \pi + 3\sqrt{3} \]
Área do laço externo: \( 2\pi + \frac{3}{2}\sqrt{3} \approx 8.9134 \)
Área do laço interno: \( \pi - \frac{3}{2}\sqrt{3} \approx 0.5435 \)
Área entre os laços: \( \pi + 3\sqrt{3} \approx 8.3699 \)
Exemplo 3: Área entre Limaçon e Círculo
Encontre a área dentro da limaçon \( r = 1 + 2 \cos\theta \) e fora do círculo \( r = 2 \).
\[ A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} [(1 + 2 \cos \theta)^2 - 2^2] d\theta = \int_0^{\pi/3} (4 \cos \theta + 2 \cos 2\theta - 1) d\theta \]
\[ = \left[ 4 \sin \theta + \sin 2\theta - \theta \right]_0^{\pi/3} = \frac{15 \sqrt{3} - 2\pi}{6} \]
Área entre as curvas: \( \frac{15 \sqrt{3} - 2\pi}{6} \approx 2.1961 \)