Modelos de Leslie: Dinâmica Populacional por Idade

Prof. Doherty Andrade --- www.metodosnumericos.com.br

Teoria

Exemplo: Veados

Exemplo: Pirarucu

Exemplo: Sabiá

Matriz Personalizada

Fundamentos dos Modelos de Leslie

Os Modelos de Leslie, desenvolvidos por Patrick Leslie na década de 1940, são ferramentas matemáticas fundamentais em ecologia populacional para prever a dinâmica de populações estruturadas por idade.

Componentes do Modelo

Para construir uma matriz de Leslie, são necessários dois parâmetros demográficos básicos para cada classe etária:

Taxa de Sobrevivência \(S_x\): Probabilidade de um indivíduo na classe etária \(x\) sobreviver e passar para a classe \(x+1\)
Taxa de Fecundidade \(F_x\): Número médio de filhotes produzidos por indivíduo na classe etária \(x\)

A Matriz de Leslie

A matriz de Leslie L tem a seguinte estrutura geral para \(n\) classes etárias:

\[ \mathbf{L} = \begin{bmatrix} F_1 & F_2 & F_3 & \cdots & F_n \\ S_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & S_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & S_{n-1} & 0 \end{bmatrix} \]

Equação de Projeção Populacional

A dinâmica populacional é descrita pela equação:

\[ \mathbf{n}(t+1) = \mathbf{L} \cdot \mathbf{n}(t) \]

onde \(\mathbf{n}(t)\) é o vetor populacional no tempo \(t\), representando o número de indivíduos em cada classe etária.

Análise de Longo Prazo

Após várias iterações, a população geralmente atinge um estado estável, onde:

A população cresce ou decresce a uma taxa constante λ (autovalor dominante)
A estrutura etária permanece constante (autovetor associado)
Se λ > 1, a população cresce; se λ < 1, a população declina; se λ = 1, a população é estável

Aplicações

Os modelos de Leslie são utilizados em:

Conservação de espécies ameaçadas
Manejo de recursos pesqueiros
Controle de pragas
Demografia humana
Planejamento de políticas públicas

Referências Bibliográficas Gerais

Leslie, P. H. (1945). On the use of matrices in certain population mathematics. Biometrika, 33(3), 183-212.

Caswell, H. (2001). Matrix Population Models: Construction, Analysis, and Interpretation. Sinauer Associates.

Gotelli, N. J. (2001). A Primer of Ecology. Sinauer Associates.

Reis, S. F. dos (2011). Ecologia Matemática: Modelos Dinâmicos em Ecologia. Editora da Universidade de São Paulo.

Exemplo: População de Veados-de-Cauda-Branca

Configuração do Modelo

População de fêmeas com 3 classes etárias anuais:

Classe 1: Filhotes (0-1 ano)
Classe 2: Juvenis (1-2 anos)
Classe 3: Adultas (2-3 anos)

Parâmetros Demográficos

Fecundidade: F₁ = 0, F₂ = 0.5, F₃ = 1.2
Sobrevivência: S₁ = 0.6, S₂ = 0.8, S₃ = 0

Matriz de Leslie

\[ \mathbf{L} = \begin{bmatrix} 0 & 0.5 & 1.2 \\ 0.6 & 0 & 0 \\ 0 & 0.8 & 0 \end{bmatrix} \]

População Inicial

n₀ = [100, 50, 30]ᵀ

Cálculos Passo a Passo

Cálculo de n(1):

n₁(1) = F₁×n₀(1) + F₂×n₀(2) + F₃×n₀(3) = 0×100 + 0.5×50 + 1.2×30 = 0 + 25 + 36 = 61

n₂(1) = S₁×n₀(1) = 0.6×100 = 60

n₃(1) = S₂×n₀(2) = 0.8×50 = 40

n(1) = [61, 60, 40]ᵀ

Cálculo de n(2):

n₁(2) = F₁×n₁(1) + F₂×n₂(1) + F₃×n₃(1) = 0×61 + 0.5×60 + 1.2×40 = 0 + 30 + 48 = 78

n₂(2) = S₁×n₁(1) = 0.6×61 = 36.6 ≈ 37

n₃(2) = S₂×n₂(1) = 0.8×60 = 48

n(2) = [78, 37, 48]ᵀ

Resultados da Projeção

Taxa de crescimento (λ) - autovalor dominante: 0.95

Tendência: Declínio (λ < 1)

Análise de Autovalores e Autovetores

Autovalores:

λ₁ ≈ 0.95 - Autovalor dominante real
λ₂ ≈ -0.325 + 0.703i - Autovalor complexo
λ₃ ≈ -0.325 - 0.703i - Autovalor complexo (conjugado)

Autovetor Dominante (λ₁ ≈ 0.95):

\[ \mathbf{v}_1 \approx \begin{bmatrix} 0.461 \\ 0.291 \\ 0.245 \end{bmatrix} \]

Interpretação Ecológica:

λ = 0.95: População em declínio de 5% por ano
Distribuição estável: 46.1% filhotes, 29.1% juvenis, 24.5% adultas
Autovalores complexos: Indicam oscilações transitórias na estrutura etária

Referências Específicas - Veados

McCullough, D. R. (1979). The George Reserve Deer Herd: Population Ecology of a K-Selected Species. University of Michigan Press.

Fowler, C. W. (1987). A review of density dependence in populations of large mammals. In: Genoways, H.H. (ed.) Current Mammalogy. Springer.

Pinder, J. E., & Barkalow, F. S. (1972). A model for the estimation of white-tailed deer populations. Journal of Wildlife Management, 36(1), 1-10.

Exemplo: População de Pirarucu (Arapaima gigas)

Configuração do Modelo

População com 4 classes etárias (intervalo de 2 anos):

Classe 1: Juvenis (0-2 anos)
Classe 2: Adultos jovens (2-4 anos)
Classe 3: Adultos (4-6 anos)
Classe 4: Adultos senis (6+ anos)

Parâmetros Demográficos

Fecundidade: F₁ = 0, F₂ = 1.5, F₃ = 3.2, F₄ = 0.8
Sobrevivência: S₁ = 0.3, S₂ = 0.7, S₃ = 0.8, S₄ = 0

Matriz de Leslie

\[ \mathbf{L} = \begin{bmatrix} 0 & 1.5 & 3.2 & 0.8 \\ 0.3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.8 & 0 \end{bmatrix} \]

População Inicial

n₀ = [200, 80, 40, 10]ᵀ

Cálculos Passo a Passo

Cálculo de n(1) - Ano 2:

n₁(1) = F₂×n₀(2) + F₃×n₀(3) + F₄×n₀(4) = 1.5×80 + 3.2×40 + 0.8×10 = 120 + 128 + 8 = 256

n₂(1) = S₁×n₀(1) = 0.3×200 = 60

n₃(1) = S₂×n₀(2) = 0.7×80 = 56

n₄(1) = S₃×n₀(3) = 0.8×40 = 32

n(1) = [256, 60, 56, 32]ᵀ

Resultados da Projeção

Taxa de crescimento (λ) - autovalor dominante: 1.18

Tendência: Crescimento (λ > 1)

Análise de Autovalores e Autovetores

Autovalores:

λ₁ ≈ 1.18 - Autovalor dominante real
λ₂ ≈ -0.44 + 0.62i - Autovalor complexo
λ₃ ≈ -0.44 - 0.62i - Autovalor complexo (conjugado)
λ₄ ≈ -0.30 - Autovalor real negativo

Autovetor Dominante (λ₁ ≈ 1.18):

\[ \mathbf{v}_1 \approx \begin{bmatrix} 0.58 \\ 0.24 \\ 0.14 \\ 0.04 \end{bmatrix} \]

Interpretação Ecológica:

λ = 1.18: População em crescimento de 18% a cada 2 anos
Distribuição estável: 58% juvenis, 24% adultos jovens, 14% adultos, 4% senis
Alta proporção de juvenis indica população jovem e em expansão

Referências Específicas - Pirarucu

Castello, L., & Stewart, D. J. (2009). Assessing CITES non-detriment findings procedures for Arapaima in Brazil. Journal of Applied Ichthyology, 26(1), 49-56.

Arantes, C. C., et al. (2017). Population dynamics and conservation of Arapaima in the Amazon. Fisheries Research, 195, 156-165.

Exemplo: População de Sabiá-laranjeira (Turdus rufiventris)

Configuração do Modelo

População com 4 classes etárias anuais:

Classe 1: Filhotes (0-1 ano)
Classe 2: Juvenis (1-2 anos)
Classe 3: Adultos (2-4 anos)
Classe 4: Adultos velhos (4+ anos)

Parâmetros Demográficos

Fecundidade: F₁ = 0, F₂ = 1.8, F₃ = 3.5, F₄ = 1.2
Sobrevivência: S₁ = 0.4, S₂ = 0.6, S₃ = 0.7, S₄ = 0.3

Matriz de Leslie

\[ \mathbf{L} = \begin{bmatrix} 0 & 1.8 & 3.5 & 1.2 \\ 0.4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.7 & 0 \end{bmatrix} \]

População Inicial

n₀ = [150, 60, 45, 15]ᵀ

Cálculos Passo a Passo

Cálculo de n(1):

n₁(1) = F₂×n₀(2) + F₃×n₀(3) + F₄×n₀(4) = 1.8×60 + 3.5×45 + 1.2×15 = 108 + 157.5 + 18 = 283.5

n₂(1) = S₁×n₀(1) = 0.4×150 = 60

n₃(1) = S₂×n₀(2) = 0.6×60 = 36

n₄(1) = S₃×n₀(3) = 0.7×45 = 31.5

n(1) = [283.5, 60, 36, 31.5]ᵀ

Resultados da Projeção

Taxa de crescimento (λ) - autovalor dominante: 1.12

Tendência: Crescimento (λ > 1)

Análise de Autovalores e Autovetores

Autovalores:

λ₁ ≈ 1.12 - Autovalor dominante real
λ₂ ≈ -0.28 + 0.45i - Autovalor complexo
λ₃ ≈ -0.28 - 0.45i - Autovalor complexo (conjugado)
λ₄ ≈ -0.56 - Autovalor real negativo

Autovetor Dominante (λ₁ ≈ 1.12):

\[ \mathbf{v}_1 \approx \begin{bmatrix} 0.52 \\ 0.23 \\ 0.18 \\ 0.07 \end{bmatrix} \]

Interpretação Ecológica:

λ = 1.12: População em crescimento de 12% por ano
Distribuição estável: 52% filhotes, 23% juvenis, 18% adultos, 7% idosos
Estrutura etária típica de espécie com alta fecundidade e crescimento rápido

Referências Específicas - Sabiá-laranjeira

Alves, V. S., et al. (2012). Biologia reprodutiva do sabiá-laranjeira (Turdus rufiventris) no sudeste do Brasil. Revista Brasileira de Ornitologia, 20(3), 274-283.

Piratelli, A., & Blake, J. G. (2006). Dinâmica populacional de aves em fragmentos florestais urbanos.

Matriz de Leslie Personalizada

Crie sua própria matriz de Leslie e analise a dinâmica populacional:

Configuração da Matriz

Número de Classes Etárias:

Número de Períodos de Tempo:

Fundamentos dos Modelos de Leslie

Componentes do Modelo

A Matriz de Leslie

Equação de Projeção Populacional

Análise de Longo Prazo

Aplicações

Referências Bibliográficas Gerais

Exemplo: População de Veados-de-Cauda-Branca

Configuração do Modelo

Parâmetros Demográficos

Matriz de Leslie

População Inicial

Cálculos Passo a Passo

Cálculo de n(1):

Cálculo de n(2):

Resultados da Projeção

Análise de Autovalores e Autovetores

Autovalores:

Autovetor Dominante (λ₁ ≈ 0.95):

Interpretação Ecológica:

Referências Específicas - Veados

Exemplo: População de Pirarucu (Arapaima gigas)

Configuração do Modelo

Parâmetros Demográficos

Matriz de Leslie

População Inicial

Cálculos Passo a Passo

Cálculo de n(1) - Ano 2:

Resultados da Projeção

Análise de Autovalores e Autovetores

Autovalores:

Autovetor Dominante (λ₁ ≈ 1.18):

Interpretação Ecológica:

Referências Específicas - Pirarucu

Exemplo: População de Sabiá-laranjeira (Turdus rufiventris)

Configuração do Modelo

Parâmetros Demográficos

Matriz de Leslie

População Inicial

Cálculos Passo a Passo

Cálculo de n(1):

Resultados da Projeção

Análise de Autovalores e Autovetores

Autovalores:

Autovetor Dominante (λ₁ ≈ 1.12):

Interpretação Ecológica:

Referências Específicas - Sabiá-laranjeira

Matriz de Leslie Personalizada

Configuração da Matriz

População Inicial

Resultados da Análise