Você já reparou que as latinhas de refrigerante são quase todas muito parecidas? Uma lata padrão de 330ml tem cerca de 6cm de diâmetro e 12cm de altura. Mas por que não são mais largas ou mais estreitas? A resposta está na Matemática! Vamos entender isso? E você vai se surpreender com a resposta!
As latinhas de alumínio, dessas que armazenam refrigerantes, sucos e cervejas, são as embalagens mais susentáveis e por isso mesmo a cada segundo um número impressionante delas é produzido no mundo. Anualment, esse número passa da casa dos 300 bilhões. Felizmente, o alumínio dessas latinhas é totalmente reaproveitado. O Brasil é o país que mais reaproveita o alumínio das latinhas. O alumínio é um material que necessita de muita energia para ser produzido.
Assim, pelo seu alto custo de produção, o design das latas precisa ser extremamente eficiente: pouco material na sua elaboração e maior volume na embalagem. Cada grama de alumínio economizado representa milhões de dólares poupados anualmente pelo mundo a fora.
Se pensarmos puramente em eficiência material, a forma esférica seria ideal:
\[ \text{Beleza estética } \]
\[ \text{Maior volume para menor superfície} \]
\[ \text{Distribuição uniforme de pressão interna} \]
Porém, as esferas são pouco práticas:
No outro extremo, um cubo seria:
Mas apresentaria problemas mecânicos nas arestas e exigiria mais material. Uma solução seria o cilindro, que oferece:
✓ 91% de eficiência no armazenamento
✓ Facilidade de fabricação
✓ Estabilidade adequada
✓ Boa resistência mecânica
✓ Conforto ergonômico
✓ Ainda serve como copo
Definida a forma cilíndrica, resta determinar as proporções ideais. Quais seriam as dimensões do raio e da altura do cilindro ideal? Com isso entendemos que a área do cilindro deve ser a mínima possível, pois isto siginifica menos material para a produção dele. Assim, o nosso objetivo é:
Para um dado volume \( V \) fixo, determinar o raio \( r \) e altura \( h \) que minimizam a área superficial \( S \) do cilindro.
As equações fundamentais são:
\[ \text{Volume: } V = \pi r^2 h \]
\[ \text{Área superficial: } S = 2\pi r h + 2\pi r^2 \]
Podemos expressar \( h \) em função de \( r \) e de \(V\):
\[ h = \frac{V}{\pi r^2} \]
Substituindo na equação da área superficial:
\[ S(r) = \frac{2V}{r} + 2\pi r^2 \]
Dos nossos conhecimentos de Cálculo Diferencial, derivando e igualando a zero para encontrar o ponto crítico:
\[ \frac{dS}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4\pi r = 0 \]
\[ 4\pi r^3 = 2V \]
\[ r_{min} = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \]
Como \(S\) é quadrática voltada para cima, este ponto é um ponto de mínimo absoluto. Mas também podemos verificar que é um mínimo através da derivada segunda:
\[ \frac{d^2S}{dr^2} = \frac{4V}{r^3} + 4\pi \]
Substituindo \( r_{min} \):
\[ \frac{d^2S}{dr^2} = 12\pi > 0 \quad \text{(confirmando ser mínimo)} \]
A altura que corresponde ao raio ótimo é dada por:
\[ h_{min} = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} = 2r_{min} \]
\[ h = 2 r \quad \text{(altura igual ao diâmetro)} .\]
Aplicando para uma lata de 330ml (330 cm³):
\[ 330 = 2\pi r^3 \]
\[ r \approx 3.745 \text{ cm} \]
\[ h = 2r \approx 7.49 \text{ cm} \]
Isso resultaria em uma lata com:
Mas no mercado existem também latinhas com outras dimensões. Isso ocorre porque as empresas aceitam, e até investem, em formatos diferentes como uma forma de marketing, dentre outros fatores.
Este problema simples mostra o poder da Matemática e sua influência no nosso dia a dia.
É importante lembrar que a Matemática sugere soluções, mas devemos ficar livres para oferecer novas formas e possibilitar ao consumidor experiências com um design inovador, mesmo que isto custe um pouco maisl.
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