Interpolação Polinomial

Método de Lagrange

📝 Polinômio Interpolador:

$P(x) = $

📊 Valores nos Pontos Originais

x	y	P(x)	Erro

Método de Newton

📊 Tabela de Diferenças Divididas:

🔸 Destaque laranja: Coeficientes do polinômio de Newton

📝 Polinômio de Newton:

$P(x) = $

📚 Interpolação Polinomial

A interpolação polinomial encontra um polinômio que passa exatamente por pontos dados $(x_i, y_i)$, permitindo estimar valores intermediários.

📐 Método de Lagrange

Combinação linear dos valores $y_i$ com polinômios base:

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

📊 Método de Newton

Construção incremental usando diferenças divididas:

$$P(x) = f[x_0] + \sum_{k=1}^{n} f[x_0,\ldots,x_k] \prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j)$$

Fenômeno de Runge

Algumas observações devem ser feitas sobre interpolação polinomial. A primeira delas é que em geral não melhoramos a precisão aumentando a quantidade de pontos ou nós e, portanto aumentando o grau do polinômio interpolador.

O que obtemos nesse caso é a melhora de precisão na região central do intervalo, mas há perdas grandes na aproximação na região dos extremos do intervalo.

                                A esse fenômeno chamamos de "Fenômeno de Runge": o erro é menor na zona central do intervalo e maior nos extremos.
                            

Devido a esse fenômeno devemos escolher um intervalo em que o ponto que queremos aproximar seja central.

A segunda observação é que não devemos usar o polinômio interpolador para aproximar valores que estejam fora do intervalo de interpolação. A isso denominamos extrapolação.

📌 Resumo: Aumentar o grau do polinômio não garante melhor aproximação - pelo contrário, pode piorar nos extremos!

Prof. Doherty Andrade - www.metodosnumericos.com.br