🧮 Integração Numérica — Trapézios e Simpson

Aproximação de $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ por regras de Newton-Cotes

Função $f(x)$:

$a$ (início):

$b$ (fim):

Número de subintervalos $m$:

1 10 100

Aproximação

—

Integral exata

—

Erro absoluto

—

$m$ mín. (prec. $10^{-5}$)

—

📚 Exemplos (do documento Maple)

$$T_m = \frac{h}{2}\left[f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{m-1} f(x_i) + f(x_m)\right]$$ $$h = \frac{b-a}{m}, \qquad x_i = a + i\,h$$

Erro: $\displaystyle |E_T| \leq \frac{(b-a)\,h^2}{12}\,M_2$ onde $M_2 = \max_{x\in[a,b]} |f''(x)|$

          💡 Dica: Arraste o slider e observe como os trapézios se ajustam
          à curva. O erro diminui como $O(h^2)$ — dobre $m$ e o erro cai ~4×.
        

Função $f(x)$:

$a$ (início):

$b$ (fim):

Número de subintervalos $m$ (deve ser par):

2 10 100

Aproximação

—

Integral exata

—

Erro absoluto

—

$m$ mín. (prec. $10^{-5}$)

—

📚 Exemplos (do documento Maple)

$$S_m = \frac{h}{3}\left[f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{ímpar}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{par}} f(x_i) + f(x_m)\right]$$ $$h = \frac{b-a}{m}, \qquad m \text{ par}$$

Erro: $\displaystyle |E_S| \leq \frac{(b-a)\,h^4}{180}\,M_4$ onde $M_4 = \max_{x\in[a,b]} |f^{(4)}(x)|$

          💡 Dica: Simpson usa parábolas em cada par de subintervalos.
          Para polinômios de grau ≤ 3, o resultado é exato! O erro cai
          como $O(h^4)$ — dobre $m$ e o erro cai ~16×.
        

Função $f(x)$:

$a$ (início):

$b$ (fim):

Precisão desejada $\varepsilon$:

Integral exata

—

Trapézios ($m$)

—

Simpson ($m$)

—

Erro Trap.

—

Erro Simp.

—

Ganho (Trap/Simp)

—

$m$ mínimo para precisão $\varepsilon$:

Trapézios

—

Simpson

—

📚 Exemplos de Comparação

Tabela de erros para diferentes valores de $m$:

          💡 Observe: Para $f(x) = x^2$, Simpson é exato com $m=2$
          (pois integra exatamente polinômios de grau ≤ 3). Para $e^{-x^2}$,
          Simpson precisa de muito menos subintervalos que Trapézios para a
          mesma precisão.
        

📚 Integração Numérica — Fundamentos

A integração numérica (ou quadratura) aproxima a integral definida $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ quando não é possível (ou conveniente) encontrar uma primitiva analítica de $f$. As regras de Newton-Cotes substituem $f$ por um polinômio interpolador e integram este polinômio.

📐 Regra dos Trapézios

Aproxima $f$ por uma reta (interpolação linear) em cada subintervalo. A área sob a reta é a área de um trapézio.

$$T_m = h\left[\frac{f(x_0)}{2} + \sum_{i=1}^{m-1} f(x_i) + \frac{f(x_m)}{2}\right], \quad h = \frac{b-a}{m}$$

Erro:

$$E_T = -\frac{(b-a)\,h^2}{12}\,f''(\xi), \quad \xi \in (a,b)$$ $$|E_T| \leq \frac{(b-a)\,h^2}{12}\,M_2, \quad M_2 = \max_{[a,b]} |f''(x)|$$

Ordem de convergência: $O(h^2)$. Duplicar $m$ reduz o erro por um fator ~4.

📈 Regra 1/3 de Simpson

Aproxima $f$ por uma parábola (interpolação quadrática) em cada par de subintervalos adjacentes. Requer $m$ par.

$$S_m = \frac{h}{3}\left[f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{ímpar}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{par}} f(x_i) + f(x_m)\right]$$

Erro:

$$E_S = -\frac{(b-a)\,h^4}{180}\,f^{(4)}(\xi), \quad \xi \in (a,b)$$ $$|E_S| \leq \frac{(b-a)\,h^4}{180}\,M_4, \quad M_4 = \max_{[a,b]} |f^{(4)}(x)|$$

Ordem de convergência: $O(h^4)$. Duplicar $m$ reduz o erro por um fator ~16.

⚖️ Comparação de Eficiência

Método	Interpolação	Erro	Ordem	Exato para polinômios de grau ≤
Trapézios	Linear (retas)	$O(h^2)$	2	1
Simpson 1/3	Quadrática (parábolas)	$O(h^4)$	4	3

🎯 Cálculo do $m$ mínimo para precisão $\varepsilon$

Para garantir $|E| \leq \varepsilon$:

Trapézios: $m \geq \sqrt{\dfrac{(b-a)^3\,M_2}{12\,\varepsilon}}$ Simpson: $m \geq \sqrt[4]{\dfrac{(b-a)^5\,M_4}{180\,\varepsilon}}$

Esta ferramenta calcula $M_2$ e $M_4$ numericamente (via derivadas simbólicas com math.js e busca do máximo no intervalo) e estima o $m$ mínimo automaticamente.

🔬 Por que integração numérica?

Para funções como $f(x) = e^{-x^2}$, $\dfrac{\sin x}{x}$, ou $\sqrt{1+x^3}$, não existe primitiva em termos de funções elementares. A integração numérica é essencial nestes casos — e também em situações práticas onde $f$ é conhecida apenas por dados experimentais (tabelas).

🛠️ Tecnologias

Plotly.js: Gráficos interativos
Math.js: Avaliação de expressões e derivadas simbólicas
MathJax: Renderização de fórmulas LaTeX
Simpson 10000: Quadratura de Simpson composta com 10000 pontos como "valor exato" de referência