Seja \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) uma função derivável em \([a, b]\) com \( f'(a) = f'(b) \).
Então existe \( \eta \in (a, b) \) tal que:
Sem perda de generalidade, podemos supor que \( f'(a) = f'(b) = 0 \). De fato, se \( f'(a) = f'(b) = k \neq 0 \), definimos:
\[ \psi(x) = f(x) - xf'(a) \]
Então \( \psi'(x) = f'(x) - f'(a) \), logo \( \psi'(a) = f'(a) - f'(a) = 0 \) e \( \psi'(b) = f'(b) - f'(a) = 0 \). Se provarmos o teorema para \( \psi \), obtemos o resultado para \( f \).
Definimos \( g : [a, b] \to \mathbb{R} \) por:
\[ g(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}, & x \in (a, b] \\[1.5em] f'(a), & x = a \end{cases} \]
A função \( g \) é contínua em \([a, b]\) e derivável em \((a, b]\). Além disso, para \( x \in (a, b) \):
\[ g'(x) = \frac{f'(x)}{x - a} - \frac{g(x)}{x - a} \]
Observe que \( g(a) = f'(a) = 0 \) (pela simplificação do Passo 1).
Consideramos dois casos:
Neste caso, \( g(a) = 0 = g(b) \). Pelo Teorema de Rolle, existe \( \eta \in (a, b) \) tal que \( g'(\eta) = 0 \).
\[ g'(\eta) = 0 \Rightarrow \frac{f'(\eta) - g(\eta)}{\eta - a} = 0 \Rightarrow f'(\eta) = g(\eta) = \frac{f(\eta) - f(a)}{\eta - a} \]
Neste caso, calculamos \( g'(b) \):
\[ g'(b) = \frac{f'(b) - g(b)}{b - a} = -\frac{g(b)}{b - a} < 0 \]
Como \( g \) é contínua e \( g'(b) < 0 \), existe uma vizinhança de \( b \) onde \( g \) é decrescente. Logo, existe \( x_1 \in (a, b) \) tal que:
\[ 0 = g(a) < g(b) \le g(x_1) \]
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe \( \xi \in (a, x_1) \) tal que \( g(\xi) = g(b) \).
Aplicando o Teorema de Rolle no intervalo \( [\xi, b] \), existe \( \eta \in (\xi, b) \subset (a, b) \) tal que \( g'(\eta) = 0 \).
\[ g'(\eta) = 0 \Rightarrow \frac{f'(\eta) - g(\eta)}{\eta - a} = 0 \Rightarrow f'(\eta) = g(\eta) = \frac{f(\eta) - f(a)}{\eta - a} \]
O caso em que \( g(b) < 0 \) é análogo ao Caso 2, com as desigualdades invertidas.
Em todos os casos, existe \( \eta \in (a, b) \) tal que:
\[ f'(\eta) = \frac{f(\eta) - f(a)}{\eta - a} \]
ou equivalentemente,
\[ f(\eta) - f(a) = f'(\eta)(\eta - a) \]
∎
Se \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) é uma função derivável em \([a, b]\) e \( f'(a) = f'(b) \), então existe \( \eta \in (a, b) \) tal que
De forma análoga ao Teorema de Flett, definimos a função \( g : [a, b] \to \mathbb{R} \) por:
\[ g(x) = \begin{cases} \dfrac{f(b) - f(x)}{b - x}, & x \in [a, b) \\[1.8em] f'(b), & x = b \end{cases} \]
A função \( g \) é contínua em \([a, b]\) e derivável em \([a, b)\). Além disso, para \( x \in (a, b) \):
\[ g'(x) = \frac{f(b) - f(x)}{(b - x)^2} - \frac{f'(x)}{b - x} \]
Observe que \( g(b) = f'(b) \). Temos \( g(a) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \).
Se \( g(a) = g(b) \), então \( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(b) \). Neste caso, aplicamos o Teorema de Rolle à função \( g \) no intervalo \([a, b]\) e obtemos \( \eta \in (a, b) \) tal que \( g'(\eta) = 0 \), o que implica \( f(b) - f(\eta) = f'(\eta)(b - \eta) \).
Se \( g(a) > g(b) \), então \( g'(a) = \frac{f(b) - f(a)}{(b - a)^2} - \frac{f'(a)}{b - a} \). Como \( f'(a) = f'(b) \) e \( g(b) = f'(b) \), podemos mostrar que \( g'(a) < 0 \). Assim, existe \( x_1 \in (a, b) \) tal que \( g(x_1) = g(b) \). Aplicando o Teorema de Rolle em \([x_1, b]\), obtemos \( \eta \in (x_1, b) \) com \( g'(\eta) = 0 \), resultando na igualdade desejada.
O caso em que \( g(a) < g(b) \) é análogo ao Caso 2, com as desigualdades invertidas.
Em todos os casos, existe \( \eta \in (a, b) \) tal que:
\[ f(b) - f(\eta) = f'(\eta)(b - \eta) \]
∎
Se as retas tangentes nos extremos \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\) são paralelas (\(f'(a) = f'(b)\)), então existe \(\eta \in (a, b)\) tal que a reta tangente em \((\eta, f(\eta))\) também passa por \((b, f(b))\).
Se as velocidades inicial e final são iguais (\(f'(a) = f'(b)\)), então existe um instante \(\eta\) onde a velocidade instantânea é igual à velocidade média de \(\eta\) até \(b\):
\[ f'(\eta) = \frac{f(b) - f(\eta)}{b - \eta} \]
Se as retas tangentes nos extremos \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\) são paralelas (\(f'(a) = f'(b)\)), então existe \(\eta \in (a, b)\) tal que a reta tangente em \((\eta, f(\eta))\) também passa por \((a, f(a))\).
Se uma partícula tem trajetória \(x = f(t)\) com velocidades inicial e final iguais (\(f'(a) = f'(b)\)), então existe um instante \(\eta\) onde a velocidade instantânea é igual à velocidade média até \(\eta\):
\[ f'(\eta) = \frac{f(\eta) - f(a)}{\eta - a} \]
\(f'(x) = \cos(x)\)
Intervalo: \([0, 2\pi]\)
\(f'(x) = -\sin(x)\)
Intervalo: \([0, 2\pi]\)
\(f'(x) = 3(x-1)^2\)
Intervalo: \([0, 2]\)
O Teorema de Flett foi publicado em 1958 pelo matemático britânico Thomas Muirhead Flett (1923-1976) no artigo "A mean value theorem" no Mathematical Gazette, vol. 42, pp. 38-39.
O teorema de Flett é uma variação interessante do Teorema do Valor Médio de Lagrange. Enquanto Lagrange relaciona a taxa média de variação com a derivada em algum ponto, Flett estabelece uma relação entre o valor da função em um ponto interior e sua derivada, sob a condição de que as derivadas nos extremos sejam iguais.
Vários matemáticos generalizaram o teorema de Flett:
O teorema de Flett tem aplicações em:
Thomas Muirhead Flett (1923-1976) foi um matemático britânico que trabalhou com análise matemática, equações diferenciais e teoria das funções. Além do teorema que leva seu nome, Flett contribuiu significativamente para o estudo de séries de Fourier e análise harmônica.