🔢 Números Felizes e Educados - Definições Matematicamente Precisas

# Adaptação das definições precisas do Mathematica para Python from typing import List, Tuple, Set, Dict import math def soma_quadrados_digitos(n: int) -> int: """Implementa Total[IntegerDigits[#]^2] & do Mathematica""" return sum(int(d) ** 2 for d in str(n)) def happy_list(n: int) -> List[int]: """Implementa HappyList do Mathematica: NestWhileList[..., UnsameQ, All]""" sequencia = [] vistos = set() atual = n while atual not in vistos: vistos.add(atual) sequencia.append(atual) atual = soma_quadrados_digitos(atual) sequencia.append(atual) # Adiciona o primeiro repetido return sequencia def happy_number(n: int) -> int: """Implementa HappyNumber do Mathematica: NestWhile[..., UnsameQ, All]""" vistos = set() atual = n while atual not in vistos: vistos.add(atual) atual = soma_quadrados_digitos(atual) return atual def happy_q(n: int) -> bool: """Implementa HappyQ do Mathematica""" return happy_number(n) == 1 # Cache para eficiência _cache_happy: Dict[int, bool] = {} def happy_q_com_cache(n: int) -> bool: """HappyQ com memorização para melhor performance""" if n in _cache_happy: return _cache_happy[n] vistos = set() atual = n while atual != 1 and atual not in vistos: vistos.add(atual) atual = soma_quadrados_digitos(atual) resultado = (atual == 1) for num in vistos: _cache_happy[num] = resultado return resultado # Gerando números felizes (como Select[Range[...], HappyQ]) def gerar_numeros_felizes(limite: int) -> List[int]: """Retorna todos os números felizes até 'limite'""" return [n for n in range(1, limite + 1) if happy_q_com_cache(n)] # Análise de números que cada número atinge (Union[HappyNumber /@ Range[...]]) def valores_atingidos(limite: int) -> Set[int]: """Retorna o conjunto de todos os valores que os números até 'limite' atingem""" return {happy_number(n) for n in range(limite + 1)} # Pares de números felizes consecutivos def pares_consecutivos(happy_numbers: List[int]) -> List[Tuple[int, int]]: """Encontra pares de números felizes consecutivos""" return [(happy_numbers[i], happy_numbers[i+1]) for i in range(len(happy_numbers)-1) if happy_numbers[i+1] - happy_numbers[i] == 1] # Triplas de números felizes consecutivos def triplas_consecutivas(happy_numbers: List[int]) -> List[Tuple[int, int, int]]: """Encontra triplas de números felizes consecutivos""" return [(happy_numbers[i], happy_numbers[i+1], happy_numbers[i+2]) for i in range(len(happy_numbers)-2) if happy_numbers[i+2] - happy_numbers[i] == 2] # Exemplo de uso if __name__ == "__main__": # Testando as definições print(f"HappyList[19] = {happy_list(19)}") print(f"HappyQ[7] = {happy_q(7)}") print(f"HappyQ[4] = {happy_q(4)}") # Valores atingidos pelos primeiros 100 números print(f"Valores atingidos (0-100): {sorted(valores_atingidos(100))}") # Gerando os primeiros 20 números felizes felizes = gerar_numeros_felizes(200) print(f"Primeiros 20 números felizes: {felizes[:20]}") # Pares consecutivos print(f"Pares consecutivos: {pares_consecutivos(felizes)[:5]}")

# Análise de números educados def divisores_impares(n: int) -> List[int]: """Retorna todos os divisores ímpares de n maiores que 1""" divisores = [] limite = int(math.sqrt(n)) for i in range(1, limite + 1, 2): if n % i == 0: if i > 1 and i % 2 == 1: divisores.append(i) outro = n // i if outro != i and outro > 1 and outro % 2 == 1: divisores.append(outro) return sorted(divisores) def sequencias_educadas(n: int) -> List[List[int]]: """ Encontra todas as sequências de inteiros consecutivos que somam n. Baseado no teorema: n = m(2k + m - 1)/2 """ if n < 3: return [] sequencias = [] dobro = 2 * n divisores = divisores_impares(dobro) for d in divisores: outro = dobro // d # Determina m (número de termos) e k (primeiro termo) if d < outro: m = d soma_extremos = outro else: m = outro soma_extremos = d k = (soma_extremos - m + 1) // 2 if m >= 2 and k >= 1: sequencia = list(range(k, k + m)) if sum(sequencia) == n: sequencias.append(sequencia) return sorted(sequencias, key=lambda x: (len(x), x[0])) def eh_potencia_de_2(n: int) -> bool: """Verifica se n é potência de 2""" return n > 0 and (n & (n - 1)) == 0 # Exemplo n = 45 print(f"\nAnálise do número {n}:") print(f"É potência de 2? {eh_potencia_de_2(n)}") print(f"Divisores ímpares de 2n: {divisores_impares(2*n)}") print(f"Sequências: {sequencias_educadas(n)}")