Para uma matriz quadrada $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$, define-se a exponencial de $A$ pela série de potências (análoga à série de Taylor do escalar $\text{e}^x$):
$$\text{e}^{A} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!} = I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + \cdots $$A série sempre converge: em qualquer norma matricial submultiplicativa, $\left\|\frac{A^k}{k!}\right\| \le \frac{\|A\|^k}{k!}$, e $\sum_k \frac{\|A\|^k}{k!} = \text{e}^{\|A\|} < \infty$ (convergência absoluta por comparação).
Se $A = PDP^{-1}$ com $D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$, então $A^k = P D^k P^{-1}$ e, somando a série:
$$\text{e}^{A} = P\, \text{e}^{D}\, P^{-1} = P \begin{pmatrix} \text{e}^{\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & \text{e}^{\lambda_n} \end{pmatrix} P^{-1} $$Se $J = \lambda I + N$ com $N$ nilpotente ($N^m = 0$) e $I$ comuta com $N$, a série é finita:
$$ \text{e}^{J} = \text{e}^{\lambda I} e^{N} = \text{e}^{\lambda}\left(I + N + \frac{N^2}{2!} + \cdots + \frac{N^{m-1}}{(m-1)!}\right) $$É o método usado em softwares numéricos (e nesta calculadora!). A ideia:
$$ \text{e}^{A} = \left( \text{e}^{A/2^{s}} \right)^{2^{s}} $$A exponencial de matriz é a ferramenta natural para resolver sistemas lineares autônomos:
$$ \dot{x}(t) = A\,x(t), \qquad x(0) = x_0 \quad\Longrightarrow\quad x(t) = \text{e}^{tA}\,x_0 $$que generaliza a solução escalar $x(t)=\text{e}^{at}x_0$. Derivando a série termo a termo verifica-se $\frac{d}{dt}\text{e}^{tA} = A \text{e}^{tA}$. 🎯
$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Basta exponenciar a diagonal:
$$ \text{e}^{A} = \begin{pmatrix} \text{e}^{2} & 0 \\ 0 & \text{e}^{3} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 7{,}389 & 0 \\ 0 & 20{,}086 \end{pmatrix} $$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Como $A^2 = 0$, a série termina no segundo termo:
$$ \text{e}^{A} = I + A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$$A = \begin{pmatrix} 0 & -\theta \\ \theta & 0 \end{pmatrix}$. As potências ciclam: $A^2 = -\theta^2 I$. Agrupando termos pares (cosseno) e ímpares (seno):
$$ \text{e}^{A} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$Para $\theta = \pi/2$: $\text{e}^{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ — uma rotação de $90^\circ$! (Teste na calculadora com o preset Rotação.)
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Polinômio característico: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 3,\ \lambda_2 = 1$.
Autovetores: $v_1 = (1,1)$, $v_2 = (1,-1)$, logo $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $P^{-1} = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.
$$ \text{e}^{A} = P \begin{pmatrix} \text{e}^{3} & 0 \\ 0 & e \end{pmatrix} P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \text{e}^3 + \text{e} & \text{e}^3 - \text{e} \\ e^3 - \text{e} & \text{e}^3 + \text{e} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 11{,}402 & 8{,}684 \\ 8{,}684 & 11{,}402 \end{pmatrix} $$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I + N$, com $N = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ nilpotente e $IN = NI$:
$$ \text{e}^{A} = \text{e}^{I}\,\text{e}^{N} = \text{e}\,(I + N) = \begin{pmatrix} \text{e} & \text{e} \\ 0 & \text{e} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 2{,}718 & 2{,}718 \\ 0 & 2{,}718 \end{pmatrix} $$Considere o PVI finito
$$\dot{x}(t)=Ax(t),\qquad x(0)=x_0,$$cuja solução é $x(t)=\text{e}^{tA}x_0$. A família $T(t)=\text{e}^{tA}$ satisfaz:
Então, em dimensão finita, a exponencial já entrega tudo: um grupo uniformemente contínuo gerado por um operador limitado $A$.
Aqui está o ponto crucial. Quando $A$ vira um operador não limitado num espaço de Banach $X$ (tipicamente um operador diferencial, como o Laplaciano $\Delta$), a série
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(tA)^n}{n!}$$não converge mais em norma, porque $A$ não é limitado. Não dá para definir $\text{e}^{tA}$ pela série. A generalização exige ferramentas novas.
A solução é axiomatizar as propriedades que sobreviveram e esquecer a fórmula explícita:
Um $C_0$-semigrupo (semigrupo fortemente contínuo) é uma família $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ de operadores lineares limitados em $X$ tal que
Repare: perde-se a inversibilidade ($t\geq 0$ apenas) e perde-se a continuidade uniforme — sobra a continuidade forte. É exatamente o que se consegue para operadores não limitados.
Define-se o gerador infinitesimal por
$$Ax=\lim_{t\to 0^+}\frac{T(t)x-x}{t},\qquad D(A)=\{x\in X:\text{o limite existe}\}.$$Esse $A$ é o análogo da matriz. O problema de Cauchy abstrato
$$\dot{u}(t)=Au(t),\qquad u(0)=u_0$$tem então solução $u(t)=T(t)u_0$ — a mesma fórmula do PVI finito, mas agora $T(t)$ não é uma série exponencial, e sim um objeto construído por outros meios.
Em dimensão finita, toda matriz gera uma exponencial. Em dimensão infinita, isso é falso: um operador não limitado qualquer não gera semigrupo. Precisamos de critérios:
| EDP | Gerador $A$ | Semigrupo |
|---|---|---|
| Calor $\partial_t u=\Delta u$ | $\Delta$ (com condições de contorno) | contração, suavizante |
| Onda $\partial_{tt}u=\Delta u$ | sistema de 1ª ordem | grupo |
| Schrödinger $i\partial_t u=-\Delta u$ | $i\Delta$ | grupo unitário (Teorema de Stone) |
A equação do calor é o exemplo paradigmático: o Laplaciano não é limitado em $L^2$, mas gera um semigrupo de contrações que "espalha" e suaviza a condição inicial — o análogo infinito de $\text{e}^{tA}x_0$.
$\text{e}^{tA}$ e o PVI são o protótipo finito do qual a teoria de $C_0$-semigrupos é a generalização para operadores não limitados. A estrutura algébrica ($T(t+s)=T(t)T(s)$) sobrevive; o que muda é que a fórmula explícita some e entra a análise funcional (Hille–Yosida, resolventes, dissipatividade) para garantir existência.
Discretizando $\partial_t u = \partial_{xx}u$ em $[0,1]$ com $u(t,0)=u(t,1)=0$ e $n$ pontos internos (passo $h=\tfrac1{n+1}$), obtemos um sistema finito $\dot u = A_h u$ com
$$A_h=\frac{1}{h^2}\begin{pmatrix}-2&1&&\\1&-2&1&\\&\ddots&\ddots&\ddots\\&&1&-2\end{pmatrix},\qquad \lambda_k=\frac{2}{h^2}\Big(\cos\frac{k\pi}{n+1}-1\Big)<0.$$Os valores $\lambda_k, k=1,2,\ldots,n$ são os autovalores de $A_h$ e os vetores $v_k$ são os autovetores, sendo que $$ (v_k)_j= \sin\left(\frac{jk\pi}{n+1} \right) $$.
A solução é uma exponencial de matriz: $u(t)=\text{e}^{tA_h}u_0=\sum_k e^{t\lambda_k}\langle u_0,v_k\rangle v_k$, onde $v_k$ são os modos de seno. Cada modo decai com taxa $\lambda_k$; os de alta frequência somem primeiro — é a suavização. Experimente o preset Modo próprio $v_1$: a forma se preserva e só a amplitude decai (invariância de modos próprios).
Aceita números e expressões como pi/2, sqrt(2), -1/3, 2^3, exp(1). Método: scaling and squaring + série de Taylor.