Análise de Circuito com 3 Malhas

Prof. Doherty Andrade - www.metodosnumericos.com.br

Considerando a malha acima, determinar os valores das correntes. A figura mostra um circuito composto por 5 resistências sujeitas a duas voltagens V1 e V2. Assuma que as direções positivas das correntes são aquelas indicadas na figura.

Diagrama do circuito
Figura 1: Diagrama do circuito elétrico
Suponha também que os valores das resistencias são \( R_1 = 5 \, \text{kΩ} \), \( R_2 = 100 \, \text{kΩ} \), \( R_3 = 200 \, \text{kΩ} \). \( R_4 = 150 \, \text{kΩ} \), \( R_5 = 250 \, \text{kΩ} \). E que \(V1= 100, V2 = 50\).

Pela lei de Kirchhof aplicada a cada loop do circuito temos as seguintes equações:

Equações do Circuito

\[(R_1 + R_4)i_1 - R_4i_2 = V_1\]

\[-R_4i_1 + (R_2 + R_4 + R_5)i_2 - R_5i_3 = 0\]

\[-R_5i_2 + (R_3 + R_5)i_3 = V_2\]

Solução Numérica (Valores Consistentes)

⚠️ Atenção: Todos os cálculos agora usam os mesmos valores de resistores: \( R_1 = 5 \, \text{kΩ} \), \( R_2 = 100 \, \text{kΩ} \), \( R_3 = 200 \, \text{kΩ} \), \( R_4 = 150 \, \text{kΩ} \), \( R_5 = 250 \, \text{kΩ} \).

Passo 1: Sistema Matricial Correto

\[ \begin{bmatrix} 155000 & -150000 & 0 \\ -150000 & 500000 & -250000 \\ 0 & -250000 & 450000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100 \\ 0 \\ 50 \end{bmatrix} \]

Passo 2: Solução por Determinantes

Determinante principal (\( \Delta \)):

\[ \Delta = 155000 \cdot (500000 \times 450000 - (-250000)^2) + 150000 \cdot (-150000 \times 450000) = 1.9625 \times 10^{16} \]

Determinantes parciais:

\[ \Delta_1 = 100 \cdot (500000 \times 450000 - (-250000)^2) + 150000 \cdot (50 \times 250000) = 1.8725 \times 10^{16} \] \[ \Delta_2 = 155000 \cdot (50 \times 250000) + 100 \cdot (-150000 \times 450000) = 6.25 \times 10^{14} \] \[ \Delta_3 = 155000 \cdot (-150000 \times 50) + 150000 \cdot (-150000 \times 50) + 100 \cdot (500000 \times 50) = 1.3 \times 10^{14} \]

Correntes:

\[ i_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} \approx 0,954 \, \text{mA}, \quad i_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} \approx 0,319 \, \text{mA}, \quad i_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} \approx 0,066 \, \text{mA} \]

Resultados Finais

\[ i_1 \approx 0,954 \, \text{mA} \]

\[ i_2 \approx 0,319 \, \text{mA} \]

\[ i_3 \approx 0,066 \, \text{mA} \]

Nota: Valores idênticos aos obtidos nos códigos MATLAB, Maple e Python abaixo.

como \[i_1= i_2+i_4\] e \[i_2 = i_3+i_5,\] os valores de \(i_4 \approx 0.635\) e de \(i_5 \approx 0.253\) seguem imediatamente.

Implementações Computacionais

MATLAB
% Valores em kΩ (convertidos para Ω)
R = [5, 100, 200, 150, 250] * 1000;
v1 = 100; v2 = 50;

% Matriz A
A = [
    R(1)+R(4), -R(4),        0;
    -R(4),     R(2)+R(4)+R(5), -R(5);
    0,         -R(5),        R(3)+R(5)
];

b = [v1; 0; v2];
current = A\b;
disp('Correntes (mA):');
disp(current * 1000);  % Exibe em mA
Python (NumPy)
import numpy as np

# Valores em kΩ (convertidos para Ω)
R = np.array([5, 100, 200, 150, 250]) * 1000
v1, v2 = 100, 50

# Matriz A
A = np.array([
    [R[0]+R[3], -R[3],        0],
    [-R[3],     R[1]+R[3]+R[4], -R[4]],
    [0,         -R[4],        R[2]+R[4]]
])

b = np.array([v1, 0, v2])
current = np.linalg.solve(A, b)
print("Correntes (mA):", current * 1000)  # Exibe em mA
Maple
restart;
R := [5, 100, 200, 150, 250] *~ 1000:  # kΩ → Ω
v1 := 100: v2 := 50:

A := Matrix([
    [R[1]+R[4], -R[4],        0],
    [-R[4],     R[2]+R[4]+R[5], -R[5]],
    [0,         -R[5],        R[3]+R[5]]
]):

b := Vector([v1, 0, v2]):
current := LinearAlgebra:-LinearSolve(A, b):
printf("Correntes (mA):\n");
current *~ 1000;  # Exibe em mA

Referências