O chumbo (Pb) é um metal pesado que é de difícil eliminação em mamíferos, apresentando meia-vida estimada de 20-30 anos no tecido ósseo. Sua absorção ocorre predominantemente por:
A excreção ocorre principalmente por filtração renal (≈80%) e, em segundo lugar, por excreção capilar, e também sudorípara e biliar.
Para simplificar o modelo, propomos um modelo matemático compartimental com três pools fisiológicos interconectados:
O sistema dinâmico é descrito pelas seguintes equações de balanço de massa. Aqui mantemos a notação original de Yeargers et al.:
\[ \begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = -(a_{01} + a_{21} + a_{31})x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + I_L(t) & \text{(Sangue)} \\ \frac{dx_2}{dt} = a_{21}x_1 - (a_{02} + a_{12})x_2 & \text{(Tecidos moles)} \\ \frac{dx_3}{dt} = a_{31}x_1 - a_{13}x_3 & \text{(Osso)} \end{cases} \]| Parâmetro | Interpretação Fisiológica | Valor | Unidade |
|---|---|---|---|
| a01 | Taxa de excreção renal | 0.021 | dia⁻¹ |
| a02 | Depuração hepática (fígado + bile) | 0.162 | dia⁻¹ |
| a12 | Transferência sangue → tecidos moles | 0.0124 | dia⁻¹ |
| a21 | Retorno tecidos moles → sangue | 0.0111 | dia⁻¹ |
| a13 | Deposição óssea | 0.000035 | dia⁻¹ |
| a31 | Reabsorção óssea | 0.0039 | dia⁻¹ |
| IL(t) | Taxa de ingestão/exposição | 49.3 | μg/dia |
Observações:
1. Assume-se a32 = 0 (fluxo desprezível tecido→osso)
2. \(I_L\)(t) pode modelar exposição aguda (pulso) ou crônica (degrau)
Para resolver numericamente o sistema de equações diferenciais acopladas, empregamos o método de Runge-Kutta 4.5, uma variante adaptativa do método Runge-Kutta. Esta abordagem é particularmente eficaz para sistemas toxicológicos onde diferentes compartimentos apresentam escalas temporais distintas (rápida dinâmica sanguínea vs. lenta acumulação óssea).
A solução formal do sistema \(\mathbf{\dot{X}} = \mathcal{A}\mathbf{X} + \mathbf{B}u(t)\) com condição inicial \(X_0\) é dada por: \[ \mathbf{X}(t) = e^{\mathcal{A}t}\mathbf{X}_0 + \int_0^t e^{\mathcal{A}(t-\tau)}\mathbf{B}u(\tau)d\tau. \] Requer cálculo da exponencial matricial e inversibilidade de \(\mathcal{A}\).
Para resolver o sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) não homogêneo, como é o caso em questão:
onde:
a solução geral pode ser obtida combinando a solução da parte homogênea com uma solução particular da equação não homogênea.
A solução geral da equação homogênea é dada por:
onde:
Podemos encontrar uma solução particular usando o método de variação dos parâmetros. A solução particular é:
A solução geral do sistema não homogêneo é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Se \(\mathbf{X}(t_0) = \mathbf{X}_0\) é a condição inicial, então:
e a solução formal fica:
A matriz exponencial pode ser calculada usando:
A solução formal do sistema é:
Se \(t_0 = 0\), simplifica-se para:
Esse é o método geral para resolver sistemas lineares não homogêneos com coeficientes constantes. Se \(\mathcal{A}\) ou \(f(t)\) têm formas específicas, simplificações adicionais podem ser aplicadas.
Utilizamos os valores empíricos obtidos por Yearges et al. (1996) para as taxas de transferência na determinação da solução numérica apresentada a seguir:
| Parâmetro | Descrição Fisiológica | Valor | Intervalo Biológico |
|---|---|---|---|
| \(a_{01}\) | Eliminação renal | 0.021 | 0.015–0.025 |
| \(a_{12}\) | Distribuição sangue→tecidos moles | 0.0124 | 0.010–0.015 |
| \(a_{13}\) | Deposição óssea | 0.000035 | 0.00002–0.00005 |
| \(a_{21}\) | Retorno tecidos→sangue | 0.0111 | 0.008–0.012 |
| \(a_{02}\) | Depuração hepática | 0.162 | 0.15–0.18 |
| \(a_{31}\) | Reabsorção óssea | 0.0039 | 0.003–0.005 |
| \(I_L\) | Ingestão diária (μg/dia) | 49.3 | 10–100 (exposição ocupacional) |