Vamos resolver numéricamente PVIs da forma $$\begin{cases} y^\prime (x)= f(x,y(x)), \,\,\, x \in [a,b]\cr y(x_0)= y_0. \end{cases}$$
Teoria: O Método Adams-Bashforth de quarta ordem é obtido aproximando $f$ por um polinômio de grau 3 interpolador em $x_i, x_{i-1},x_{i-2},x_{i-3}$ e usando a regra de integração $$\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) dx \approx \frac{h}{24} \left[ 55f(x_i)-59 f(x_{i-1})+37f(x_{i-2})-9f(x_{i-3})\right]$$ onde $h= x_{i+1}-x_i.$ Substituindo em \begin{equation} y(x_{i+1})= y(x_i)+\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x))dx.\end{equation} obtemos $$ y_{i+1}= y_i + \frac{h}{24} \left[ 55f(x_i, y_i)-59 f(x_{i-1},y_{i-1})+37f(x_{i-2},y_{i-2})-9f(x_{i-3},y_{i-3})\right], i\geq 3$$ que é a fórmula do Método de Adams-Bashforth de quarta ordem. Observe que para determinar $y_4$ precisamos conhecer $y_0,y_1, y_2,y_3$; como $y_0$ já é dado precisamos determinar os demais. Fazemos isto usando um método numérico de passo simples, em geral usamos o método de Runge-Kutta de ordem 4 (MRK4). No código JS aqui utilizamos o MRK4. O erro local no MAB-4 é dado por $$ \frac{5}{12} h^5 y^{(5)}(\eta_i)$$ onde $\eta_i \in (x_{i-3},x_i).$ O erro global é proporcional a $h^4.$