Método de Adams-Bashforth de 4ª Ordem

Fundamentação Teórica

Vamos resolver numericamente PVIs da forma:

$$ \begin{cases} y^\prime (x) = f(x,y(x)), \quad x \in [a,b] \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} $$

O Método Adams-Bashforth de quarta ordem é obtido aproximando $f$ por um polinômio de grau 3 interpolador em $x_i, x_{i-1}, x_{i-2}, x_{i-3}$ e usando a regra de integração:

$$ \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) dx \approx \frac{h}{24} \left[ 55f_i - 59 f_{i-1} + 37f_{i-2} - 9f_{i-3} \right] $$

Substituindo na equação integral, obtemos a fórmula de iteração para $i \geq 3$:

$$ y_{i+1} = y_i + \frac{h}{24} \left[ 55f(x_i, y_i) - 59 f(x_{i-1}, y_{i-1}) + 37f(x_{i-2}, y_{i-2}) - 9f(x_{i-3}, y_{i-3}) \right] $$

Inicialização: Para determinar $y_4$, precisamos conhecer $y_0, y_1, y_2, y_3$. Como $y_0$ é dado, determinamos os demais usando o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4).

Análise de Erro: O erro local de truncamento é proporcional a $h^5 y^{(5)}(\eta_i)$, onde $\eta_i \in (x_{i-3}, x_i)$. O erro global é proporcional a $\mathcal{O}(h^4)$.