A função inversa de $w\,e^w = z$ — resolvendo equações transcendentais
Os dois ramos reais de $W$ (inversos de $y = x\,e^x$): W₀ (azul, ramo principal) e W₋₁ (roxo tracejado, ramo secundário). A curva cinza mostra $y = x\,e^x$ e a reta tracejada é o eixo de reflexão $y = x$ — note que $W$ é exatamente a reflexão de $x\,e^x$ em torno dessa diagonal. O ponto dourado marca o ponto de ramificação $(-1/e,\,-1)$, onde os dois ramos se encontram com tangente vertical.
Clique em qualquer exemplo para ver a solução passo a passo e/ou calculá-lo automaticamente.
Todas as equações do tipo $x^x = a$ (com $a > 0$) seguem o mesmo padrão:
Basta substituir o valor de $a$ e calcular $W(\ln a)$ usando esta calculadora!
Arraste o slider ou clique no gráfico para mover a reta vertical e observar as interseções com os dois ramos da função $W$.
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Entenda o método numérico por trás dos cálculos da função $W$ de Lambert.
A bissecção é um método confiável para encontrar raízes de equações, mas tem uma limitação fundamental: ela só garante convergência, mas é lenta (convergência linear).
Para a função $W$ de Lambert, queremos alta precisão (15 casas decimais) com o mínimo de iterações possível. Vamos comparar os métodos:
| Método | Ordem de Convergência | Iterações para 15 casas | Velocidade |
|---|---|---|---|
| Bissecção | Linear (1) | ~50 iterações | 🐢 Lento |
| Newton-Raphson | Quadrática (2) | ~7-8 iterações | 🚶 Moderado |
| Halley | Cúbica (3) | ~4-5 iterações | 🚀 Rápido |
O método de Halley é o padrão-ouro para calcular a função $W$ de Lambert. É o mesmo método usado no artigo seminal de Corless et al. (1996) e implementado em softwares como Maple, Mathematica e MATLAB.
Queremos resolver a equação:
onde $z$ é o valor de entrada e $w = W(z)$ é o que queremos encontrar.
Calculando as derivadas:
Substituindo e simplificando, obtemos a fórmula prática:
Vamos calcular passo a passo o número de Omega ($W(1) \approx 0,5671432904...$):
Chute inicial: $w_0 = 0,5$ (usando a série de Taylor $W(z) \approx z$ para $z$ pequeno)
$e^{w_0} = e^{0,5} = 1,648721$
$w_0\,e^{w_0} = 0,5 \times 1,648721 = 0,824361$
$f(w_0) = 0,824361 - 1 = -0,175639$
$f'(w_0) = 1,5 \times 1,648721 = 2,473082$
$f''(w_0) = 2,5 \times 1,648721 = 4,121803$
Aplicando a fórmula de Halley:
$w_1 \approx 0,5698$
$w_2 \approx 0,5671433$
$w_3 \approx 0,5671432904$ ✓ Convergiu!
Convergiu em apenas 3 iterações! 🎉 Compare com Newton-Raphson (~7 iterações) ou bissecção (~50 iterações).
O sucesso do método depende criticamente de um bom chute inicial. Usamos:
Paramos quando o erro relativo é menor que $10^{-14}$, garantindo precisão de máquina (double precision tem ~15-16 casas decimais).
Antes de entrar no loop, verificamos casos exatos:
Conteúdo baseado em referências clássicas. Clique em cada tópico para expandir.
A função $W$ de Lambert foi considerada pela primeira vez há mais de 250 anos, mas apenas recentemente foi batizada e objeto de um tratamento rigoroso. Ela está intimamente relacionada com a função logaritmo e tem uma grande variedade de aplicações em matemática, física e ciências da computação.
A função deve o seu nome a Johann Heinrich Lambert (1728–1777), matemático, físico e astrónomo suíço, reconhecido como o primeiro a apresentar uma prova rigorosa da irracionalidade do número $\pi$. A história da função começa em 1758, quando Lambert estudou a equação trinomial $x = q + x^m$. No entanto, é num artigo publicado por Leonhard Euler (1707–1783) que aparece a primeira menção da função inversa de $y = xe^x$. Euler concede o crédito a Lambert pelo seu trabalho pioneiro.
Só no final do século XX é que a função começou a ser designada por "função de Lambert", e a letra $W$ foi escolhida na primeira implementação da função no software matemático Maple.
A função $W$ de Lambert define-se como sendo a inversa da função:
Em outras palavras, $W(z)$ é o valor de $w$ tal que $w\,e^w = z$.
Para entender a função $W$ e seus ramos precisamos lembrar que ela é a função inversa de $y = x\,e^x$. Portanto, informações sobre a função $y= x\,e^x$ serão usadas para compreender $W$. A função $y = x\,e^x$ está definida para todo número real $x$ e tem por contradomínio o conjunto dos números $y \geq -1/e \approx -0,3679$. A sua derivada é $y' = (x+1)e^x$ é negativa para $x < -1$ e positiva para $x > -1$. Segue-se que a função é decrescente para $x \leq -1$ e crescente para $x \geq -1$.
Portanto, ao contrário da função exponencial, $x\,e^x$ não é invertível sobre todo o seu domínio. No entanto, se restringirmos o domínio, a função torna-se invertível (injetora e bijetora), dando origem a dois ramos:
Vamos restringir a função $x\,e^x$ ao conjunto $[-1, +\infty)$ cuja imagem é o conjunto $[-e^{-1}, +\infty)$. Assim, ela possui inversa a qual é designada por ramo principal:
Do mesmo modo, restringindo a função $x\,e^x$ ao conjunto $(-\infty, -1]$ cuja imagem é $[-e^{-1}, 0]$, ela possui inversa. Esta inversa é designada por ramo secundário:
Por definição de função inversa, temos as duas igualdades que são muito utilizadas na resolução de problemas:
Do exposto acima, concluímos que, para um dado valor de $x$, a equação $y\,e^y = x$ possui uma única solução se $x > 0$ (que pertence ao ramo principal $W_0$). Por outro lado, possui duas soluções se $-e^{-1} < x < 0$ (uma em cada ramo: $W_0$ e $W_{-1}$).
Alguns valores da função $W$ de Lambert são fáceis de obter usando a condição $W(x\,e^x) = x$:
| Valor | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|
| $W(-1/e)$ | $W(-1 \cdot e^{-1})$ | $-1$ |
| $W(0)$ | $W(0 \cdot e^0)$ | $0$ |
| $W(e)$ | $W(1 \cdot e^1)$ | $1$ |
| $W(2\ln 2)$ | $W(\ln 2 \cdot e^{\ln 2})$ | $\ln 2$ |
| $W(1)$ | Constante $\Omega$ (número de Omega) | $\approx 0,567143$ |
O número $\Omega = W(1) \approx 0,5671432904...$ é um número transcendente (provado em 1929) e também satisfaz $e^{-\Omega} = \Omega$.
Válida para $|z| < 1/e$.
Uma equação da forma $x = f(x)$ que não possui solução algébrica em termos de "funções elementares" diz-se uma equação transcendente. A estratégia geral para resolvê-las com a função $W$ é manipular a equação até obter a forma $a = b\,e^b$, donde se segue que $b = W(a)$.
Supondo que $x>0$, podemos aplicar o logaritmo natural a ambos os membros: $\ln 2 = \ln(x^x) = x \ln x$.
A mudança de variável $z = \ln x$ permite escrever a identidade na forma $\ln 2 = z\,e^z$, donde se segue que $z = W(\ln 2)$. Portanto:
A função $y = x + e^x$ é crescente para todo $x$ real ($y' = 1 + e^x > 0$), logo a equação tem uma única solução real.
Tomando a exponencial em ambos os membros: $e^2 = e^{x + e^x} = (e^x)\,e^{(e^x)}$.
Segue-se que $e^x = W(e^2)$, isto é, a única solução real é dada por:
A função $y = x - e^x + 2$ tem derivada $y' = 1 - e^x$, que se anula em $x = 0$. O ponto $(0, 1)$ é um máximo absoluto.
Tomando exponenciais: $e^{x-2} = (e^x)\,e^{(-e^x)}$, ou seja, $-e^{-2} = (-e^x)\,e^{(-e^x)}$.
Como $-e^{-1} < -e^{-2} < 0$, obtemos as duas soluções aplicando os dois ramos da função $W$:
Note que tanto $-W_0(-e^{-2})>$ quanto $-W_{-1}(-e^{-2})>0$ podemos aplicar $\ln$ e, obtemos as duas soluções aplicando os dois ramos da função $W$:
Escrevendo $\ln x = -\sqrt{x}$ e multiplicando por $1/2$: $\frac{1}{2}\ln x = -\frac{1}{2}\sqrt{x}$.
Usando propriedades do logaritmo: $\ln(\sqrt{x}) = -\frac{1}{2}\sqrt{x}$, donde $\sqrt{x} = e^{-\frac{1}{2}\sqrt{x}}$.
Multiplicando por $\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}\sqrt{x}}$, obtemos $\frac{1}{2}\sqrt{x}\,e^{\frac{1}{2}\sqrt{x}} = \frac{1}{2}$, donde se segue que $\frac{1}{2}\sqrt{x} = W(1/2)$. Portanto:
Reescrevendo: $1 = 3x \cdot 2^{-x} = 3x\,e^{-x\ln 2}$.
Multiplicando ambos os membros por $-(\ln 2)/3$: $-\frac{\ln 2}{3} = -(x\ln 2)\,e^{-x\ln 2}$.
Como $-e^{-1} < -\frac{\ln 2}{3} < 0$, podemos usar os dois ramos:
Reescrevendo: $x\,e^{x/n} = 1$. Extraindo a raiz de índice $n$: $x\,e^{x/n} = 1$, com $b = x/n$.
Outra aplicação interessante da função $W$ envolve a torre infinita de expoentes (também conhecida como tetração):
Esta função pode ser definida iterativamente por $y_1 = x$ e $y_{n+1} = x^{y_n}$. Este processo gera uma sequência infinita de aproximações para $y(x)$.
Euler provou que a sucessão $(y_n)$ converge quando:
Neste caso, podemos escrever $y = x^y$, ou seja, $x = y^{1/y}$. Aplicando o logaritmo natural a ambos os membros, obtemos $\ln x = \frac{\ln y}{y}$, ou ainda, $y\ln x = \ln y$.
Segue-se que $y = e^{y\ln x}$. Podemos escrever esta última igualdade como:
E pela definição da função $W$, temos $-y\ln x = W(-\ln x)$, ou seja, obtemos a expressão fechada para a torre de potências infinita:
A função $W$ de Lambert surge em áreas surpreendentemente diversas:
Curiosidades matemáticas:
A definição da função $W$ apresenta-a de forma implícita. Em geral, teremos de recorrer a métodos numéricos ou a um sistema de álgebra computacional para calcular o seu valor. A função $W$ está implementada em praticamente todos os sistemas matemáticos modernos:
| Software | Comando |
|---|---|
| Python (SymPy) | sympy.lambertw(z) |
| Mathematica / Wolfram Alpha | ProductLog[z] |
| Maple | LambertW(z) |
| MATLAB | lambertw(z) |
| R | lamW::lambertW0(z) |
| Julia | SpecialFunctions.lambertw(z) |
Referências bibliográficas:
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