Insira duas equações não lineares separadas por ponto e vírgula ($;$). Defina um chute inicial $(x_0, y_0)$, o número máximo de iterações e a tolerância de erro. O algoritmo calculará a raiz do sistema e plotará as curvas implícitas com o caminho de convergência.
Observação: A norma indica o quão perto o ponto atual está da solução. Quando a norma fica suficientemente pequena, o método é considerado convergente.
Nota: A última coluna exibe a norma do vetor $ \|\mathbf{F}(x_k)\| $, ou seja, a distância até a solução do sistema. O método para quando essa norma fica menor do que o erro tolerável definido acima.
O Método de Newton-Raphson para sistemas de equações não lineares é uma generalização do método unidimensional. Dado um sistema $ \mathbf{F}(\mathbf{x}) = 0 $, onde $ \mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n $, buscamos um vetor $ \mathbf{x}^* $ tal que $ \mathbf{F}(\mathbf{x}^*) = \mathbf{0} $.
Para um sistema 2x2, temos:
$$ \mathbf{F}(x, y) = \begin{bmatrix} f_1(x, y) \\ f_2(x, y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$A iteração de Newton-Raphson é dada por:
$$ \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k - \mathbf{J}^{-1}(\mathbf{x}_k) \mathbf{F}(\mathbf{x}_k) $$Onde $ \mathbf{J} $ é a Matriz Jacobiana do sistema:
$$ \mathbf{J}(x, y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix} $$Na prática, resolvemos o sistema linear $ \mathbf{J}(\mathbf{x}_k) \Delta \mathbf{x}_k = -\mathbf{F}(\mathbf{x}_k) $ e atualizamos $ \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k + \Delta \mathbf{x}_k $.
O critério de parada utilizado é a norma do vetor função: $ \|\mathbf{F}(\mathbf{x}_k)\| < \text{tolerância} $.