Transforme funções do tempo $f(t)$ em funções da frequência $F(s)$
Nenhum cálculo realizado ainda
Baseado nas notas de aula do Prof. Doherty Andrade (UEM/DMA). Clique em cada tópico para expandir o conteúdo.
A Transformada de Laplace é uma poderosa ferramenta matemática que converte funções do domínio do tempo $f(t)$ em funções do domínio da frequência complexa $F(s)$. Ela foi desenvolvida por Pierre Simon de Laplace (1749–1872), matemático francês com grandes contribuições à mecânica celeste e à teoria das probabilidades.
Seja $f:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$. A Transformada de Laplace de $f$ é definida pela integral imprópria:
onde $s$ é uma variável real (ou complexa) e a integral converge para valores adequados de $s$.
A grande vantagem desta técnica é que o operador $\mathcal{L}$ é um operador integral linear que "destrói" derivadas, transformando equações diferenciais em simples equações algébricas — muito mais fáceis de resolver.
Nem toda função possui Transformada de Laplace. Para garantir a convergência da integral, precisamos de condições adequadas sobre $f$.
Dizemos que $f$ é de ordem exponencial em $[0,\infty)$ se existem constantes $C>0$ e $\alpha$ tais que:
Exemplos de funções de ordem exponencial:
Se $f$ é contínua por partes e de ordem exponencial, então existe um real $\alpha$ tal que a integral
converge para todos os valores de $s > \alpha$.
Observação: A função $e^{t^2}$, por exemplo, não é de ordem exponencial e não possui Transformada de Laplace.
A Transformada de Laplace é um operador linear, o que significa que preserva combinações lineares de funções.
Sejam $f, g \in \mathcal{E}$ e $k \in \mathbb{R}$. Então:
Esta propriedade é fundamental porque nos permite decompor funções complexas em partes mais simples, calcular a transformada de cada parte separadamente e depois recombinar os resultados.
A seguir, as transformadas mais utilizadas na prática. Esta tabela é essencial para o cálculo tanto direto quanto inverso.
| $f(t)$ | $\mathcal{L}[f](s) = F(s)$ | Condição |
|---|---|---|
| $1$ | $\dfrac{1}{s}$ | $s > 0$ |
| $t^n$ | $\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ | $s > 0,\ n \in \mathbb{N}$ |
| $e^{at}$ | $\dfrac{1}{s-a}$ | $s > a$ |
| $\sin(at)$ | $\dfrac{a}{s^2+a^2}$ | $s > 0$ |
| $\cos(at)$ | $\dfrac{s}{s^2+a^2}$ | $s > 0$ |
| $e^{at}t^n$ | $\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}$ | $s > a$ |
| $e^{at}\sin(\omega t)$ | $\dfrac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}$ | $s > a$ |
| $e^{at}\cos(\omega t)$ | $\dfrac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}$ | $s > a$ |
| $u_a(t)$ (degrau) | $\dfrac{e^{-as}}{s}$ | $s > 0$ |
| $\delta(t)$ (Dirac) | $1$ | — |
Além da linearidade, a Transformada de Laplace possui propriedades poderosas que permitem manipular funções de forma elegante.
Se $f$ é contínua por partes e de ordem exponencial, então:
O fator $e^{at}$ desloca a transformada de $s$ para $s-a$.
Se $f'$ é contínua por partes e de ordem exponencial:
E, por indução, para derivadas de ordem $n$:
Dadas $f$ e $g$, a convolução é definida por:
Então vale a relação:
Na resolução de EDOs, após aplicar $\mathcal{L}$ e resolver a equação algébrica em $s$, precisamos reconstruir a solução $y(t)$ a partir de $Y(s) = \mathcal{L}[y]$.
Pelo Teorema de Lerch, a transformação $\mathcal{L}$ é injetora. Logo, existe a inversa:
e $\mathcal{L}^{-1}$ também é linear.
O método mais prático para calcular $\mathcal{L}^{-1}$ é o método das frações parciais, que decompõe expressões racionais $F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}$ em termos mais simples, cujas inversas são conhecidas pela tabela.
Casos típicos:
Calcule $\mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{2s+3}{s^2-4s+20}\right]$.
Sugestão: Complete o quadrado no denominador: $s^2 - 4s + 20 = (s-2)^2 + 16$, e use o 1º teorema do deslocamento.
A principal aplicação da Transformada de Laplace é a resolução de Problemas de Valor Inicial (PVI) para EDOs lineares com coeficientes constantes.
Roteiro de resolução:
Problema: Resolver o PVI
Solução: Aplicando $\mathcal{L}$:
Isolando $\mathcal{L}[y]$:
Aplicando $\mathcal{L}^{-1}$:
A técnica também se aplica a sistemas. Por exemplo, para o sistema:
Aplicando $\mathcal{L}$ em ambas as equações e resolvendo o sistema algébrico resultante em $X(s)$ e $Y(s)$, obtemos:
Existe uma fórmula explícita para a transformada inversa, que envolve integração sobre um contorno no plano complexo:
onde $s = x + iy$ e $\gamma$ é um número real escolhido de modo que a reta $s = \gamma$ esteja à direita de todas as singularidades de $F(s)$. Esta integral é conhecida como integral de Bromwich.
Embora elegante, na prática usamos quase sempre o método das frações parciais combinado com a tabela de transformadas, que é muito mais eficiente.