Prof. Doherty Andrade www.metodosnumericos.com.br
É o sólido obtido pela interseção de dois cilindros de raio \(r\) com eixos perpendiculares
Dois cilindros de raio \(r\) se cruzam perpendicularmente pelos centros determinando um sólido. Vamos calcular o volume deste sólido. Volte e visualize o sólido.
Passo 1: Equações dos cilindros perpendiculares:
\[ \begin{cases} x^2 + z^2 \leq r_1^2 \\ y^2 + z^2 \leq r_2^2 \end{cases} \]
Passo 2: Por simetria, calculamos 1/8 do volume e multiplicamos por 8:
\[ V = 8 \int_{0}^{r} \int_{0}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{0}^{\sqrt{r^2 - z^2}} dx\,dy\,dz \]
Passo 3: Resolvendo as integrais:
\[ V = 8 \int_{0}^{r} (\sqrt{r^2 - z^2})^2 dz = 8 \int_{0}^{r} (r^2 - z^2) dz \]
Resultado Final:
\[ V = \frac{16}{3}r^3 \]
Para r = 1: \( V \approx 5.333 \)
Agora três cilindros se cruzam perpendicularmente pelos seus centros determinando um sólido. Vamos calcular o volume deste sólido. Volte e visualize o sólido.
Passo 1: Equações dos três cilindros perpendiculares:
\[ \begin{cases} y^2 + z^2 \leq r^2 \\ x^2 + z^2 \leq r^2 \\ x^2 + y^2 \leq r^2 \end{cases} \]
Passo 2: O volume pode ser calculado por:
\[ V = 16 \int_{0}^{r} \int_{0}^{\sqrt{r^2 - x^2}} \sqrt{r^2 - x^2 - y^2}\, dy\, dx \]
Passo 3: Solução da integral (usando coordenadas esféricas):
\[ V = 8(2 - \sqrt{2})r^3 \]
Resultado Final:
\[ V \approx 4.686 \text{ (para r = 1)} \]
O Sólido de Steinmetz (ou Bicilindro) é o sólido tridimensional obtido pela interseção de dois cilindros circulares de mesmo raio \( r \), cujos eixos se cruzam perpendicularmente.
Imagine dois cilindros infinitos:
O sólido de Steinmetz é a região do espaço comum a ambos, ou seja, onde ambas as desigualdades são verdadeiras simultaneamente.
Seu nome é uma homenagem ao matemático e engenheiro eletricista Charles Proteus Steinmetz, que popularizou o estudo deste sólido no início do século XX, embora a forma já fosse conhecida por matemáticos anteriores, como Arquimedes.
O sólido se assemelha a um "corpo almofadado" ou a uma peça de encaixe. Sua superfície é composta por quatro faces côncavas curvadas para dentro. A aresta onde as duas superfícies cilíndricas se encontram forma uma curva fechada.
Uma das propriedades mais notáveis é que o volume do sólido de Steinmetz (para cilindros de raio \( r \)) pode ser calculado de forma relativamente simples usando cálculo integral. A fórmula é:
\[ V = \frac{16}{3}r^3 \]
Fato interessante: Este volume é exatamente \( \frac{16}{3}r^3 \), que é maior do que o volume de uma esfera de raio \( r \) (\( \frac{4}{3}\pi r^3 \approx 4.19r^3 \)) mas menor do que o volume de um cubo que a circunscreveria (volume \( 8r^3 \)).
A área da superfície do bicilindro também pode ser derivada por integração. A fórmula é:
\[ A = 16r^2 \]
Curiosamente, esta área é exatamente \( 16r^2 \), que é a mesma área de superfície lateral de um único cilindro de raio \( r \) e altura \( 2r \) (sem as tampas).
O cálculo do volume é um ótimo exercício de cálculo integral. A chave é usar a simetria do sólido.
É possível estender o conceito para a interseção de três cilindros cujos eixos são mutuamente perpendiculares (ao longo dos eixos x, y e z). Este sólido é conhecido como Tricilindro.
Embora seja uma forma puramente matemática, o Sólido de Steinmetz e variações dele encontram aplicações no mundo real:
Sua estrutura é muito forte e eficiente para distribuir tensões, sendo usada em projetos de colunas e arcos.
A forma é esteticamente bonita e ergonômica, aparecendo em projetos de móveis, vasos, joias e peças de escultura.
É a forma básica de um virabrequim (árvore de manivelas) em motores, onde as hastes dos pistões se conectam a um eixo central.
Embora Steinmetz tenha dado nome ao sólido, o grande matemático Arquimedes já havia descoberto a razão entre os volumes de um bicilindro e do cilindro que o circunscreve. Seu trabalho sobre esse tema foi perdido, mas foi recriado posteriormente por outros matemáticos usando os métodos que ele provavelmente empregou.